Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. I. Азбука квадратного уравнения
  2. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  3. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  4. Анализ уравнения Лэнгмюра
  5. Величины: константы, переменные, типы величин. Присваивание. Ввод и вывод величин. Линейные алгоритмы работы с величинами
  6. Второго порядка с постоянными коэффициентами
  7. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка

Это уравнения вида: , где p и g – числа(*)

Определение: Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 - два действительных различных решения.

2)D=0 - один действительный корень кратности 2.

3)D<0 - два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .

Будем показывать что:

1) и - ЛНЗ

2) и - решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что - решение (*), подставим

+ p +g =0

верное равенство решение (*)

аналогично показывается для y2.

Вывод: - ФСР (*) общее решение

 

Рассмотрим 2случай: D=0 - 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

- решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

 

подставим в ДУ

- решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0 - 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

- будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б) - решение ДУ

верное равенство - решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод: ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .

Пример:

Н.у:

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Введение | Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка | Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка | Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка | Теорема Коши. | Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка | Линейные неоднородные ДУ | Линейные неоднородные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства| Линейные однородные ДУ порядка n с постоянными коэффициентами

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)