Расчет валов круглого (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом

Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 7.29).

Рис.7.29

Примем следующий порядок расчета.

1. Разлагаем все внешние силы на составляющие

P_1x, P_2x,..., P_nx и P_1y, P_2y,..., P_ny.

2. Строим эпюры изгибающих моментов M_ч и M_y. от этих групп сил.

У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента M_x, и M_y, а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис.7.30)

,

который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной оси п—п, перпендикулярной вектору М_изг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру М_изг спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.

Рис.7.30

3. Строится эпюра крутящего момента М_z.. Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении.

4. Находится опасное сечение вала.

Опасное сечение вала будем искать, как и прежде, по эпюрам внутренних усилий. При построении эпюр внутренних усилий при кручении с изгибом необходимо иметь ввиду следующие правила:

- эпюры крутящего момента M_x, а также эпюры составляющих поперечной силы Q_y, Q_z и изгибающего момента M_y, M_z строятся по той же процедуре, что и ранее;

- результирующая поперечная сила Q может не лежать в плоскости действия результирующего изгибающего момента M _и, а потому между ними уже не будет соблюдаться зависимость Журавского (dM/dx=Q), а, следовательно, и правила проверки эпюр, введенные для плоского изгиба;

- эпюра полного изгибающего момента будет прямой только на тех участках, где M_y и M_z ограничены прямыми с общей нулевой точкой, на участках, где такая общая точка отсутствует эпюра M _и будет описываться вогнутой кривой и строится по точкам (связано с тем, что вектор M _и в разных сечениях имеет различное направление).

Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего M_x и полного изгибающего M _и моментов. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент М _кр, то это сечение является опасным.

Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни М ни М _крне являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.

В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам М и М _кр, необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных сечениях.

5. После установления опасного сечения вала в нем находят опасные точки. В сечении возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и кручения не учитываются.

Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k^/, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 7.31),

.

где W_изг — момент сопротивления при изгибе.

В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения

,

где W_р— момент сопротивления при кручении.

Рис.7.31

Как видно из рис. 7.31, в данном случае имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен вестись по одной из гипотез прочности. Для пластичных материалов применяют гипотезу наибольших касательных напряжений (III) или энергетическую гипотезу (IV).

Условие прочности по III гипотезе записывается в виде

. (44)

В рассматриваемом случае

,

или

, (45)

где - эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности.

Условие прочности по IV гипотезе прочности записывается в виде

. (46)

В рассматриваемом случае

,

или

, (47)

где - эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности.

Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе

. (48)

Аналогичный расчет проводится и для кольцевого сечения.

Дата добавления: 2015-07-14