Для примера рассмотрим два разных преобразования одного и того же уравнения

ln x = 2 - x.

(3.10)

В виде (3.1) его можно записать либо

ln x - 2 + x = 0,

(3.11)

либо

2 - ln x - x = 0,

(3.12)

Оба уравнения приведем к виду (3.8) прибавлением x к правой и левой частям.

Уравнение (3.11) преобразуется к виду:

x = ln x - 2 + 2 x,

(3.13)

т.е. (x)= ln x - 2 + 2 x.

Продифференцируем функцию (x): (x)= + 2. Не трудно определить, что условие сходимости метода выполняется при -1 < x < -1/3. Но на этапе отделения корней можно убедиться, что корень уравнения лежит в интервале (1,2), и вообще вся функция (x) из-за наличия логарифмаопределена лишь при x > 0. Это значит, что исходное уравнение преобразованием к виду (3.13) решить методом простых итераций невозможно.

Уравнение (3.12) преобразуется к виду:

x = 2 - ln x,

(3.14)

т.е. (x)= 2 - ln x. Продифференцируем функцию (x): (x)= - . Условие сходимости метода выполняется при ½ x ½ > 1. Это значит, учитывая область расположения корня, что вычислительный процесс метода простых итераций будет сходящимся, если исходное уравнение преобразовано к виду (3.14).

Существует более или менее универсальный способ преобразования уравнения (3.1) к виду (3.8):

F (x) = 0

Þ

C ^. F (x) = 0

Þ

C ^. F (x) + x = x

(3.15)

Здесь C - некоторый параметр, выбираемый из условия сходимости процесса.

Для примера попытаемся применить этот способ для решения уравнения (3.11). Условие сходимости (3.9) для преобразования (3.15) в общем виде выглядит так:

.

так как в этом неравенстве присутствует знак модуля, то оно распадается на два неравенства:

и

или

и .

(3.16)

Дальнейшее преобразование этих неравенств для получения условия на значения параметра С зависит от знака производной в окрестности искомого корня.

Так как в уравнении (3.11) , то неравенства (3.16) для него выглядят так:

и .

(3.17)

В качестве окрестности корня уравнения (3.11) рассматриваем интервал [1, 2], полученный на этапе отделения корней. Вычислим значения производной при х =1 и х =2:

и .

Так как производная в исследуемой окрестности положительна, то неравенства (3.17) можно записать так:

С < 0 и C >

(3.18)

Подставим во второе из этих неравенств границы нашей окрестности и получим:

для х =1 → С >-1, для х =2 → C >-4/3.

Дата добавления: 2015-07-14