Идеальная матрица сравнений. Обратно-симметричные и согласованные матрицы

Попробуем очертить идеальную матрицу сравнений. Допустим, что n видов действия или объектов рассматриваются лицом, принимающим решения (ЛПР). Предположим, что цели следующие: высказать суждения об относительной важности предложенных объектов или видов действия; гарантировать такой процесс получения суждений, который позволит качественно интерпретировать суждения по каждому из входящих объектов.

Пусть - данная совокупность объектов (или видов возможных действий). Количественные суждения о парах объектов , входящих в рассматриваемую систему S, представим матрицей размера , имеющей вид: . Элементы матрицы А зададим по следующим правилам:

Правило 1: Если , то элемент , где ;

Правило 2: Если суждения (относительно рассматриваемых объектов) таковы, что объект имеет одинаковую с объектом относительную важность, то элемент и элемент . В частности для всех номеров .

Матрица А, отвечающая правилам 1,2, называется идеальной матрицей сравнения объектов (Р).

Легко понять, что для любых номеров i, k и l справедливо равенство (вытекает из правила 1), но лишь для некоторых матриц.

Рассмотрим теперь произвольную квадратную положительную матрицу порядка n. Назовем матрицу обратно-симметричной (ОСМ), если для любых номеров i и j выполняется соотношение ; в частности для всех номеров . Назовем матрицу А согласованной, если для любых номеров i, k и l выполняется равенство . Видно, что идеальная матрица сравнений включает в себя обратно-симметричные и согласованные матрицы. Упомянем без доказательства, что положительная обратно-симметричная матрица А является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы А равен ее наибольшему собственному значению, т.е. . В частности, для таких матриц ее норма .

«Пошевелим» (изменим незначительно) элементы ОСМ . Можно заметить, что и ее максимальное собственное значение изменится незначительно.

Рассмотрим теперь положительную обратно-симметричную матрицу А. Как известно, она согласованная лишь тогда, когда . Для произвольной матрицы А ясно, что не обязательно равно , но можно видеть, что . В качестве степени согласованности матрицы А возьмем отношение . Назовем это отношение индексом согласованности (ИС) матрицы А. В современной литературе считается, что, если ИС не превосходит 10%, то можно быть удовлетворенным степенью высказываемых в дальнейшем суждений об относительной важности объектов системы S.

2.5.2 Нахождение индекса согласованности обратно–симметричной матрицы. Задача шкалирования. Столбец приоритетов.

Описываемые ниже способы нахождения ИС ОСМ А являются эффективными лишь для обратно-симметричных матриц, достаточно близких к согласованным. К настоящему времени существуют четыре известных способа. Отметим сразу,что если матрица А является идеальной, то все они приводят к одному и тому же результату. В общем случае это не так.

В качестве численного примера рассмотрим ОСМ 4-го порядка:

(1) (2)

Используем для наглядности второй способ, предложенный Т.Саати. Сначала суммируем элементы каждого столбца (см. результаты (2)). Далее заменяем каждый элемент построенного столбца на обратное число. Складываем элементы столбца из обратных величин.

Делим каждый из элементов построенного столбца на полученную сумму 0,97, т.е. . Умножим теперь матрицу А на полученный столбец, имеем . Разделим каждый элемент столбца-произведения на каждый из соответствующих элементов столбца-множителя, получим следующие результаты: 3,59;6,31;2,78;3,50.

Найдем их среднее арифметическое: . Это и есть приближенное максимальное собственное значение исходной ОСМ А, т.е . Теперь уже совсем легко найти индекс согласованности (ИС) ОСМ А, который равен: , то есть степень согласованности суждений является удовлетворительной.

При любом подходе к суждениям об эксперименте важное значение имеет выбор шкалы сравнений. Главное требование - шкала сравнений должна быть простой и естественной. Обычно в качестве чисел шкалы берут числа от 1 до 9. Почему? Способность человека представлена, как правило, пятью определениями для проводимых разграничений: слабо разграничиваются, равные, сильно разграничиваются, очень сильно, абсолютно разграничиваются.

Таблица сравнений. Пусть даны элементы - объекты А, В, С и D…системы S. Таблица сравнений имеет вид:

	A	B	C	D	…
A
B
C
D
…

Она строится по следующим правилам:

1. Если элементы А и В одинаково важны (одинакового уровня), то заносим в позицию (А, В) таблицы сравнений единицу;

2. Если объект А значительно важнее В, то в (А, В) заносим число 5, аналогично 1/5 в (В, А);

3. Если А явно важнее, чем В, то число 7; если А абсолютно важнее, то 9.

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромиссов между оценками, слегка отличающимися от основных чисел в таблице сравнений.

ПРИМЕР

Предположим, что сравнивая объекты А, B, C и D (цеха предприятия) в системе S (предприятие), мы вынуждены написать следующую таблицу сравнений:

которая приводит к уже рассмотренной нами обратно-симметричной матрице А. Для нее уже был найден индекс согласованности (ИС) с идеальной матрицей сравнений, который оказался равным ИС@0,017. Сумма всех элементов полученного столбца-множителя (его еще называют столбцом приоритетов) равна . Он и позволяет подвести итог полученной таблице сравнений .

Среди сравниваемых элементов A, B, C и D (объектов системы S) наивысший приоритет имеет объект А (доля приоритета в системе равна 68%), затем идет объект В (доля приоритета равна 16%), далее идет объект С (доля приоритета равна 9%), наконец, объект D (доля приоритета равна 6%).

Дата добавления: 2015-07-14