Статистичне опрацювання даних визначення фізичних властивостей

Статистичне опрацювання матеріалів складається з двох етапів: попереднього опрацювання і математичного аналізу. Попереднє опрацювання полягає головним чином в упорядкуванні каталогів даних про склад і фізичні властивості порід, планів і розрізів з нанесеними точками відбору і величиною фізичного параметра. Математичний аналіз петрофізичних даних дозволяє встановити основні закономірності зміни фізичних параметрів досліджуваних гірських порід і об'єктивно виділити петрофізичні групи й асоціації порід.

Для виділення петрофізичних груп порід застосовується метод групування по найбільше загальних і стійких ознаках: генетичному типу, складу, текстурно-структурним особливостям, діагенезу і метаморфізму. Для з'ясовування розподілу фізичного параметра в межах попередньо виділеної петрофізичної групи використовують варіаційний ряд (таблиця 1.1), де кожному значенню параметра x або інтервалу його зміни Dх відповідає визначена повторювальність значень параметра (частота). Оптимальна ширина інтервалу може бути обчислена за формулою Стерджеса

Dх ,(1.13)

де: – межі розподілу параметра; N – число значень у розподілі.

Для характеристики петрофізичної групи потрібно не менше 20-30 зразків.

На підставі варіаційного ряду може бути побудована варіаційна крива або гістограма (рисунок 1.1), або крива накопичених частот (рисунок 1.2). Форма варіаційної кривої або гістограми слугує основним якісним критерієм для з'ясовування слушності виділеної петрофізичної групи. Розподіли параметра густини і швидкості поширення пружних хвиль у породах, які не зазнали повторних змін, зазвичай підпорядковуються нормальному закону, магнітна сприйнятливість і намагніченість - логнормальному закону. Нормальний закон описується функцією

, (1.14)

де: х_і - значення параметра; - середнє арифметичне значення параметра; St - стандарт розподілу параметра.

Таблиця 1.1

Приклад упорядкування варіаційного ряду густини порід

Інтервал зміни густини, 10^3×кг/м^3	Час-тота, DN	Частість, %	Накопи-чення частоти	Накопичення частості , %
2,50-2,52
2,52-2,54
2,54-2,56
2,65-2,58
2,58-2,60
2,60-2,62
2,62-2,64
Примітка. На варіаційних кривих частість позначена через N.

2,50 2,54 2,58 2,62 s,10³кг/м³ 2,50 2,54 2,58 s,10³кг/м³

1 - теоретична крива; 2, 4 - гістограми;

З - експериментальна крива

Рисунок 1.1 Варіаційні криві і гістограми нормального розподілу густини граніту.

2.5 2,54 2,58 s,×10³кг/м³

Рисунок.1.2. Комулятивна крива (накопичених частот) розподілу густини граніту

Логнормальний закон описується функцією

,(1.15)

де: y_i – значення параметра; - середнє арифметичне значень логарифмів параметра; St' - стандарт розподілу логарифмів параметра.

З метою перевірки відповідності розподілу до того чи іншого закону використовують криві накопичених частот, побудовані в спеціальному ймовірному масштабі (див. рисунок 1.2). У випадку відповідності досліджуваного розподілу нормальному або логнормальному законам графік буде виглядати, як пряма лінія. Різка невідповідність є показником неоднорідності сукупності.

Прикладом неправильного вибору сукупності можуть служити криві, що мають складну форму і полімодальний розподіл параметра (рисунок 1.3). Кожний з максимумів варіаційної кривої підпорядковується логнормальному закону,

характерному для розподілу магнітної сприйнятливості, і зумовлений різними етапами процесу мігматизації.

а) бімодальний розподіл магнітної сприйнятливості магнітів Карелії;

б) асиметричний розподіл швидкості V_p для різновиду сієнітів.

Рисунок 1.3. Складні варіаційні криві розподілу фізичних параметрів гірських порід

Після уточнення виділених груп обчислюють наступні узагальнені показники розподілу.

Середню арифметичну величину визначають за формулою

, (1.16)

де: х_i - фізичний параметр зразка; N - число зразків.

Середньозважену величину обчисляють за формулою

,(1.17)

де: N_i - число зразків в окремих групах; m - число груп.

У якості показника розміру відхилення окремих значень від середнього і відмінності окремих значень один від одного, тобто розміру варіації параметра, слугують дисперсія або стандарт (середнє квадратичне відхилення), що є розмірними величинами

(1.18)

Якщо розподіл підпорядковується нормальному закону, то ординати варіаційної кривої з абсцисами ` ±St ( - координата вершини варіаційної кривої) складають 0,606 максимальної ординати.

При співставленні дисперсій декількох груп, що мають різні одиниці виміру, доцільно користуватися безрозмірним коефіцієнтом варіації (у %)

V = (1.19)

Для характеристики значення фізичного параметра, що зустрічається часто, використовують формулу

,(1.20)

де: x₀ - початок модального інтервалу ;Dx - ширина інтервалу; DN₁, DN₂, DN₃ - частоти значень предмодального, модального і післямодального інтервалів.

Наближене значення моди можна оцінити через інтервал з найбільшою частотою. У випадку нормального розподілу значення моди і середньої арифметичної збігаються. Розбіжність моди і середньої арифметичної характеризується мірою асиметрії

(1.21)

Асиметрія може свідчити про характер і інтенсивність прояви в породі різноманітних накладених процесів. Прикладом негативної асиметрії може служити наявність зруйнованих тріщинуватих різновидів у петрошвидкісній групі сієнітів Хівинського масиву (див. рисунок 1.3,б). З розвитком процесу тріщинуватості негативна асиметрія може переходити в нормальний розподіл окремої групи порід.

Для більш точної оцінки відповідності емпіричного розподілу до нормального або логнормального використовують критерії Колмогорова, Пірсона й ін. У ряді випадків доцільно порівнювати різні групи фізичного параметра. Це може бути виконано за допомогою перевірки гіпотез про рівність середніх і дисперсій.

Гіпотезу про рівність середніх значень і двох нормально розподілених значень перевіряють за допомогою критерія Стьюдента

, (1.22)

де: N₁, N₂ - число значень параметра в першому і другому розподілах.

Обчислений розмір критерію t порівнюють з табличним значенням при заданому рівні значущості Р (у %) і числі ступенів свободи

K=(N₁+N₂-2). (1.23)

Для перевірки гіпотези про рівність дисперсій двох нормальних розподілів можна скористатися критерієм Фішера ( F )

якщо (1.24)

Обчислене значення F порівнюють з табличним значенням з заданим рівнем значущості P (у %) і ступенях свободи K₁=N₁-1 і K₂=N₂-1. Таблиці є у всіх посібниках з математичної статистики.

Якщо обчислені значення t і F менше табличних, то припущення про несуттєву розбіжність між середніми і дисперсіями двох розподілів варто прийняти.

При опрацюванні матеріалів петрофізичних досліджень виникає задача вивчення зв'язку різноманітних фізичних параметрів між собою або з іншими характеристиками досліджуваної породи (мінеральний склад і т.д.). Варто мати на увазі, що зв'язок звичайно має не функціональний, а стохастичний (ймовірний) характер, і тому для рішення зазначеної задачі варто користуватися теорією кореляційного аналізу. За допомогою кореляційного аналізу оцінюють ступінь близькості кореляційної залежності до функціональної. Вона характеризується коефіцієнтом лінійної кореляції r, обчисленим за формулою

r=(`xy-`x `y)/St_xSt_y, (1.25)

де: ` х і `у - середні арифметичні значення х і у у відповідних розподілах; ` xy - середнє арифметичне значення добутку х і у; St_x і St_y - стандарти розподілів х і у.

Коефіцієнт кореляції r змінюється від -1 до +1. При r=0 лінійний зв'язок між х и у відсутній. При r=±1 зв'язок між х и у функціональний. Достовірність виявленого зв'язку оцінюється спеціальними прийомами.

Для з'ясовування ступеня достовірності виявленого кореляційного зв'язку при невеличкій вибірці (N<50) використовують також критерій, запропонований В.И.Романовським

½r½ . (1.26)

Якщо нерівність має місце, то коефіцієнт кореляції рахується значущим. За допомогою кореляційного аналізу вивчають характер зв'язків і використовують лінійне рівняння регресії

(1.27)

Емпіричний розподіл двох безперервних величин може бути поданий графічно у виді поля кореляції, на якому дані лінії регресії. На рисунку 1.4 подане поле кореляції і лінія регресії густини і швидкості повздовжніх хвиль у серпентинізованих гіпербазитах. Для з'ясовування ступеня зв'язку між двома параметрами був обчислений коефіцієнт кореляції r = 0,965 і визначене рівняння регресії: V_p=(3,44s-3,6) км/с. Лінія регресії, побудована за рівнянням, близька до лінії регресії, проведеної по точках.

Рисунок.1.4. Поле кореляції густини і швидкості повздовжніх хвиль у серпантинізованих гіпербазитах Уралу.

Для визначення характеру залежності між параметрами, пов'язаними криволінійно, може бути застосована методика добору теоретичної формули, близької до такої, щоб відповідала фактичній кривій залежності. Вона полягає в порівнянні фактичної згладженої кривої, наприклад V_p=f(s), із різноманітними графіками функціональних залежностей, які подані у довідниках. Придатність обраної за графіком формули перевіряють методом вирівнювання, зміст якого зводиться до того, що на базі зв'язку між параметрами х і у знаходять величини х=f(х,у) і y=f(х,у), що пов'язані між собою лінійно. Потім за допомогою методу найменших квадратів або методу середніх визначають параметри підібраної формули.

У практиці петрофізичних досліджень нерідко зустрічаються випадки, коли шукана ознака залежить від двох інших ознак і більше. Кореляція таких значень є множинною. При подвійному лінійному зв'язку однієї ознаки z із двома іншими х і у коефіцієнт множинної кореляції визначається за формулою

(1.28)

де: r_xz, r_xy, r_yz - коефіцієнти кореляції між х і z, х і у, у і z; R - змінюється від 0 до +1.

Для статистичного опрацювання даних на ЕОМ існує велике число програм, що дозволяють обчислити статистичні характеристики і кореляційні залежності.

Дата добавления: 2015-07-12