Доказательство. 1. Существование

1. Существование. Пусть V = L(x₁), тогда x₁ – базис. Пусть теперь V ≠ L(x₁), тогда существует x₂ ϵ V, x₂ ∉ L(x₁), x₁,x₂ линейно независимы. Тогда если V = L(x₁,x₂), то x₁,x₂ – базис. Если V ≠ L(x₁,x₂), то существует x₃ ϵ V и так далее. Так как число линейно независимых векторов ≤ n, то через r ≤ n шагов получим x_r ϵ V, для любого вектора V справедливо x_r+1 ϵ L(x₁,…, x_r) => V = L(x₁,…, x_r), тогда x₁,…, x_r – базис.

2. Единственность. Предположим, V = L(x₁,…, x_r) = L(y₁,…, y_s). Так как векторы y₁,…, y_s ϵ V линейно независимы, то s ≤ r. Так как векторы x₁,…, x_r ϵ V линейно независимы, то r ≤ s. То есть, r = s. ■

(17) Координаты вектора.

Пусть a₁,…, a_n – базис V над F. Тогда для любого x ϵ V найдутся такие α₁,…, α_n ϵ F, что x = α₁⋅a₁ + … + α_n⋅a_n. Строка (α₁,…, α_n) ϵ F_n называется координатами вектора x в базисе a₁,…, a_n.

(18) Изоморфизм векторных пространств одной размерности.

Векторные пространства U и V называются изоморфными (U≈V), если существует взаимно однозначное отображение ϕ: U ⟼ V такое, что ϕ(α⋅a+β⋅b) = α⋅ϕ(a) + β⋅ϕ(b) для любых α,β ϵ F, a,b ϵ U.

Теорема. Если dim_FV = n, то V ≈ F_n.

Доказательство. Пусть V = L(a₁,…, a_n). Тогда x = α₁a₁ + … + α_na_n. Зададим отображение ϕ(x) = [x]_{a1,…, an} = (α₁,…, α_n), сопоставляющее элементу x ϵ V его координаты в базисе a₁,…, a_n.

1. Из определения понятно, что ϕ – сюръективно (отображение «на»). Для любых x,y ϵ V имеем ϕ(x) ≠ ϕ(y), т. е., ϕ – инъективно (отображение «в»), отсюда следует, что ϕ – биективно.

2. Для любых α,β ϵ F, x,y ϵ V, x = α₁a₁ + … + α_na_n, y = β₁a₁ + … + β_na_n имеем:

ϕ(α⋅x+ β⋅y) = ϕ(α⋅(α₁a₁ + … + α_na_n) + β⋅(β₁a₁ + … + β_na_n)) =

= α⋅(α₁ + … + α_n) + β⋅(β₁ + … + β_n) = α⋅ϕ(x) + β⋅ϕ(y). ■

(19) Подпространства векторного пространства.

Теорема ( о размерности подпространств ). Для любого подпространства U пространства V = L(a₁,…, a_n) существует базис b₁,…, b_r, U = L(b₁,…, b_r), r ≤ n.

Доказательство. Обозначим M = {(b₁,…, b_r) | b₁,…, b_r – лин. независ.}.

1. Пусть U = 0, тогда U = L(0). Пусть L ≠ 0, тогда M ≠ ∅ (т.к. существует a≠0 ϵ U), (a) ϵ M. Тогда можно дополнить линейно независимые векторы до базиса, r ≤ n.

2. Выберем такой набор (b₁,…, b_r) ϵ M, где r – максимальное. Тогда b₁,…, b_r – базис U, так как: для любого b ϵ U векторы b₁,…, b_r, b – линейно зависимы, то есть, b ϵ L(b₁,…, b_r); тогда U ⊆ L(b₁,…, b_r), L(b₁,…, b_r) ⊆ U, следовательно, U = L(b₁,…, b_r), b₁,…, b_r – базис U, r ≤ n. ■

(20) Cумма и пересечение подпространств, связь их размерностей.

Пусть U₁,…, U_k – подпросранства V. Пересечением подпространств называют множество = U₁ ∩ … ∩ U_k = {a ϵ V | a ϵ U₁,…, a ϵ U_k}. Суммой подпространств называют множество = U₁ + … + U_k = {a ϵ V | a = a₁ + … + a_k, a_i ϵ U_i}.

Лемма. и – подпространства V.

Дата добавления: 2015-07-11