Краткие сведения из теории

Министерство образования и науки РФ

Рязанский институт (филиал)

Федерального государственного бюджетного

Образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Московский государственный открытый университет

им. В. С. Черномырдина»

Кафедра архитектуры и градостроительства

Г. С. Нечипорук

Решение задачи изгиба пластинки

С применением пк лира

Методические указания для

Студентов строительных специальностей

Рязань 2012

УДК 539.3

Н – 59

Г. С. Нечипорук

Решение задачи изгиба пластинки с применение ПК ЛИРА. Методические указания для студентов строительных специальностей. Рязанский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения «Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина», 2012

В методических указаниях дана постановка задачи изгиба жесткой пластинки. Приводится порядок решения указанной задачи с применением программного комплекса ЛИРА, реализующего метод конечных элементов. Приведены примеры по определению напряженно-деформированного состояния жесткой пластинки. Даны схемы и исходные данные для выполнения расчетно-графических работ.

Печатается по решению методического совета вуза

© Рязанский институт (филиал) МГОУ им. В. С. Черномырдина, 2012

© Г. С. Нечипорук

Оглавление

1) Изгиб прямоугольной пластинки. Краткие сведения из теории.. ……………..3

2) Решение задачи изгиба пластинки с применением ПК ЛИРА …..........………6

2.1 Режим запуска программы………………………………………………….6

2.2 Режим формирования расчетной схемы…………………………………..6

2.3 Режим - расчет задачи…………………………………………………..….8

2.4 Режим - анализ результатов расчета……………………………………….8

3) Другие условия опирания……………………………………………………….14

Приложение 1 – Задание для выполнения РГР 2. Расчет пластинки………….24

Изгиб прямоугольной пластинки.

Краткие сведения из теории

Основная и наиболее трудоемкая часть задачи расчета жесткой пластинки (рисунок 1) заключается в определении функции прогиба w (x,y) как решения бигармонического уравнения Софии Жермен (1), удовлетворяющего заданной нагрузке и условиям опирания пластинки.

(1)

Здесь q (x,y) –поверхностная нагрузка на пластинку; – цилиндрическая жесткость пластинки; h – толщина пластинки.

Внутренние усилия (рисунок 2) и, соответственно, напряжения в пластинке связаны с перемещениями следующими зависимостями.

Изгибающие моменты:

(2)

Крутящий момент:

(3)

Поперечные силы:

(4)

Согласно принятой в теории изгиба пластинок гипотезе Бернулли – Кирхгофа о жесткой нормали, напряжения, создающие изгибающие моменты M_x, M_y, определяются по формулам сопротивления материалов:

, (5)

где: W = 1· h² /6 – момент сопротивления элемента поперечного сечения пластинки единичной ширины.

Аналогично (6)

Таким образом, если известна функция w (x,y), то, вычислив максимальный прогиб, можно проверить для данной пластинки выполнение условия жесткости. w _max ≤ [ w ].

Далее, определив внутренние усилия по выражениям (2) - (4), можно найти их максимальные значения и по формулам (5) и (6) вычислить наибольшие напряжения и дать оценку прочности пластинки.

Уравнение (1) имеет множество решений и для отыскания своего решения необходимо воспользоваться граничными условиями – условиями опирания пластинки.

Запись условий опирания.

В теории пластинок приняты три основных вида опирания – защемление, свободное (шарнирное) опирание и свободный неопертый край.

Пусть левый край пластинки 0-1 с координатами х = 0, 0 ≤ у ≤ b защемлен (рисунок 3). В этом случае граничные условия принимают вид:

1) прогиб w = 0,

2) угол поворота левой грани

Если защемлены верхний или нижний края пластинки, условия опирания имеют аналогичные выражения:

1) прогиб w = 0, 2) угол поворота нижней (верхней) грани

Представим, что верхний край 0 - 2 с координатами 0 ≤ x ≤ a, y = 0 шарнирно оперт. Тогда граничные условия записываются как:

1) прогиб w = 0,

2) Изгибающий момент на грани M_y = 0.

Поскольку производная по х на верхней опертой грани второе условие принимает вид:

2) M_y =

Если шарнирно оперты боковые грани, то условия опирания имеют вид:

1) w = 0, 2) M_x =

Пусть нижний край 1-3 (0 ≤ x ≤ a, y = b) неоперт. В этом случае w ≠ 0, а нулю должны быть равны усилия (реакции) на свободном неопертом крае. Т. е.

1) M_y = 0, 2) M_xy = 0, 3) Q_y = 0.

Два последних условия можно объединить в одно и граничные условия примут вид:

1)

2) .

Если неоперты правый или левый край, то граничные условия запишутся как:

1)

2) .

В связи с отсутствием общего решения дифференциального уравнения изгиба пластинки (1), разработаны и широко применяются методы численного интегрирования. Одним из них является метод конечного элемента (МКЭ). В этом случае пластинка разбивается на простейшие треугольные или четырехугольные элементы. Неизвестными являются линейные перемещения (прогибы) и угловые перемещения узловых точек элемента, которые определяются при решении системы линейных алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид:

, (7)

где R – матрица жесткости (реакций), – вектор перемещений и - вектор нагрузки.

После определения перемещений находятся внутренние усилия.

Дата добавления: 2015-07-11