Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) Î C_[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18 ).

1. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) Î C_[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19 )

1. (Теорема Коши) Если f(x) Î C_[a,b] и f(a)f(b)< 0, то существует c Î [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20 ).

Замечание.

1. Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.
2. Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1 /x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Пример 25. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке:

1. f(x) = 1/(1+2^1/x)

Решение.

lim _{x ® -0}1 / (1+2^{1 /x} ) = 1
lim _{x ® +0}1 / (1+2^{1 /x} ) = 0,

так как

lim _{x ® +0}2^{1 /x} = ¥, lim _{x ® -0}2^{1 /x} = 0.

Следовательно, f(x) в точке x = 0 имеет разрыв первого рода.

f (x) =

ì (1 / 5)(2 x ^2+3), при -¥ <x £ 1, í 6-5 x, при 1 <x< 3, î x- 3, при 3£ x< ¥

3. Решение. Заметим, что на интервалах (-¥,1), (1,3), (3,¥) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

1. lim _{x ® 1-0}1 / 5(2 x ²+3) = 1;
   lim _{x ® 1+0}(6-5 x) = 1;
   f (1) = 1.
2. Таким образом в точке x = 1 функция непрерывна. Так как
3. lim _{x ® 3-0}(6-5 x) = -9;
   lim _{x ® 3+0}(x- 3) = 0,
4. то точка x = 3 - точка разрыва первого рода.

Упражнение 2. Исследовать на непрерывность

f (x) =

ì e ^1 /x, при x ¹ 0, í î 0, при x = 0;

1. f(x) = E(x)- целая часть числа;
2. f(x) = arctg 1/(x-5) в точке a=5;

f (x) =

ì x+ 2, при x< 2, í î x ^2-1, при x ³ 2.

Дата добавления: 2015-07-11