Равномерная непрерывность функций.

Определение. Функция f(x), определенная на промежутке Х, называется равномерно непрерывной на промежутке Х, если

e>0 δ=δ(e) x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ |f(х₁)-f(x₂)|<e

Примеры. 1) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Т.к. |f(х₁)- f(x₂)ê=êх₁-х₂ê, то

e>0 δ=δ(e) x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ=e |f(х₁)-f(x₂)|<e

2) f(x)=sin х, xÎ(-¥;+¥)

Выше показали, что |sin x₁-sin x₂|£|x₁-x₂|

3) f(x)=х², xÎ[-1,1]

|f(х₁)- f(x₂)ê= êх₁-х₂êêх₁+х₂ê£2êх₁-х₂ê

e>0 δ= x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ=e |f(х₁)-f(x₂)|£2êх₁-х₂ê<e

4) f(x)=х², xÎ(-¥;+¥) – не является равномерно непрерывной.

Отрицание равномерной непрерывности:

Тогда, пусть , , - →0, n→¥

5) f(x)= не является равномерно непрерывной на промежутке (0,1].

Возьмем х₁= , х₂= . Тогда

Теорема Кантора. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Допустим противное, т.е. функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], но неравномерно непрерывна на нем, т.е.

Это означает, что найдется хотя бы одно e₀>0, которому не отвечает никакое d>0 в смысле определения равномерной непрерывности

В этом случае, какое бы число d>0 ни взять, найдутся в промежутке [a,b] такие два значения х¢ и х¢¢, что

Возьмем последовательность положительных чисел такую, что {d_n}→0, n→¥.

Тогда

Последовательность {x¢_n} – ограничена (т.к. ее значения находятся внутри отрезка). По лемме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , k®¥, Î[a,b].

Т.к. (т.к. , а d_n→0, n→¥), то и последовательность , k®¥.

Рассмотрим разность f()-f(). Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна и в точке , т.е. f()-f()→f()-f()=0, k®¥.

Получили противоречие с условием , следовательно, допущение неверно и функция равномерно непрерывна. Ч.т.д.

Дата добавления: 2015-07-11