Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Точки разрыва и их классификация.

Читайте также:
  1. II. Точки разрыва 2 рода
  2. III. С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ФЕРМЕРА
  3. Quot;Волшебные" точки.
  4. Аналогичным образом находим, выставляем и фиксируем на правом луче другие опорные точки голограммы: через сутки, неделю, месяц, год, девять лет.
  5. АНАЛОГОВЫЕ ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
  6. Антропологические точки черепа.
  7. В газете написали, что на своей судовой инструкции по технике безопасности я «нарисовала цветочки и детские каракули».

Как было сказано выше, функция f(x) непрерывна в точке х0, если

Если в точке х0 это двойное равенство не выполняется, то точка х0 называется точка разрыва функции.

Точками разрыва будем называть также точки, в которых f(x) не определена, но в любой d-окрестности которых имеются точки области определения функции f(x).

Классификация точек разрыва.

Пусть =f(x0+0)=А+ и =f(x0-0)=А правый и левый односторонний пределы.

1)

х
у
 
х0
А+-
f(x0)
А+-≠f(x0) - х0точка устранимого разрыва.

(можно доопределить функцию в точке х0: f(x0)=f(x0+0)=f(x0-0))/

 

 

2) Существуют конечные пределы =f(x0+0)=А+ и =f(x0-0)=А, но А+≠А- f(x0) - х0точка разрыва 1-го рода.

А+- - скачок функции в точке х0.

х0
А+
f(x0)
х
у
 
A-
Пример. f(x)=

Эта функция определена всюду, кроме точки х0=0, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х0=0 – точка разрыва функции f(x)= .

= , =

Т.о. существуют конечные односторонние пределы, но они не равны. Значит, х0=0 – точка разрыва 1-го рода.

Величина скачка функции в этой точке: f(+0)-f(-0)= =p.

3) Если в точке х0 не существует хотя бы один из односторонних пределов или в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то х0точка разрыва 2-го рода.

Например, функция - определена всюду, кроме точки х0=2, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х0=2 – точка разрыва функции f(x). Т.к. функция не имеет предела при х→2, то это точка разрыва 2-го рода.

 
х
у
 
2) Функция у= - в точке х=3 имеет точку разрыва 2-го рода, т.к. односторонние пределы бесконечны.

= , =

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

f(x)=

Функции у=х3+1, у=2 и у=3х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрыв только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х1=1 и х2=2.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего соответствующие найдем односторонние пределы и значения функции.

1) В точке х1=1.

значение f(1) - неопределенно

Т.о. , т.е. точка х1=1 – точка устранимого разрыва функции.

2) В точке х2=2

f(2)=2

Т.о. f(2)=2, т.е. точка х2 – точка разрыва 2-го рода.

Скачок функции в точке х2: 6-2=4.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 135 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. | Пример. | Арифметические операции над непрерывными функциями. | Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции). | Равномерная непрерывность функций. | Теорема (б.д.). | Непрерывность элементарных функций (продолжение). |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примеры непрерывных функций.| Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)