Функция

Рассмотрим некоторое отображение f:Х Y. Это отображение называют функцией, если оно одно­значно, т. е. если для любых пар (х₁y₁) f и (х₂y₂) f из x₂= x₁ следует y₂= y₁.

На рис. 1.5, а приведен пример отображения, явля­ющегося функцией. Отображение на рис. 1.5, б функцией не является.

Из определения отображения и из приведенных ранее примеров следует, что элементами множеств Х и Y мо­гут быть объекты любой природы. Однако в задачах компьютерных сетей большой интерес представляют отображения, которые являются однозначными и множество значений которых представляет собой множество вещественных чи­сел R. Однозначное отображение f, определенное выше, называют функцией с вещественными значениями, если .

А) б)

Рис. 1.5. Иллюстрация к понятию функции

Понятие функции является чрезвычайно широким, и изучению отдельных классов функций посвящены многие математические дисциплины (алгебра, тригонометрия и т.п.). Мы рассмотрим только некоторые общие наибо­лее фундаментальные свойства функции, не касаясь свойств конкретных классов.

Значение у в любой из пар (х, y) f называют функ­цией от данного х и записывают в виде y=f(x). Такая запись позволяет вести следующее формальное определе­ние функции:

f= {(x, y) =f (x)}. (1.19)

Таким образом, символ f используют при определении Функции в двух смыслах:

f является множеством, элементами которого будут пары (х, y), участвующие в соответствии;

f (x) является обозначением для у У, соответствую­щего данному х Х.

Как уже указывалось, термин «отношение» использу­ют для обозначения некоторых видов отображений, за­данных на одном и том же множестве. В связи с этим удобно вести специальную символику.

Пусть отображение (X, Г) является отношением. Рас­смотрим элемент у Г х. Будем говорить, что элемент у находится в отношении Г к элементу х, и запишем это в виде

у Г х. (1.20)

Используя для отображения, заданного на одном множестве, соотношение (X, Г), получаем, что отношение есть пара множеств (X, Г), в которой Г Х². Поскольку элементами множества X² являются упорядоченные пары, то можно сказать, что отношение есть множество упорядоченных пар. Так как каждая пара связывает между собой только два элемента множества X², то такое отношение называют бинарным.

Можно ввести более общее понятие отношения, называя отноше­нием пару множества (X, Г), где Г Х ⁿ. Элементами множества Х ⁿ являются упорядоченные n-ки, что позволяет назвать данное отноше­ние n-арным. В частности, множество упорядоченных троек может быть названо тернарным отношением. В дальнейшем, не оговаривая этого особо под термином «отношение» будем иметь в виду бинарное отно­шение.

Отношения делятся на различные виды в зависимости от того, обладают или не обладают они некоторыми свой­ствами. Рассмотрим шесть основных свойств отношений. При описании этих свойств будем считать, что х, у и z — любые элементы из множества X.

Рефлективность: х Г х истинно; антирефлексивность: х Г х ложно; симметричность: х Г у у Г х; антисимметрич­ность: х Г у и у Г х х=у; несимметричность: если х Г у ис­тинно, то у Г х ложно; транзитивность: х Г у и y Г z x Г z.

---

Дата добавления: 2015-07-11