Непрерывность функции. Точки разрыва функции

Лекция 4. Непрерывность функции

Непрерывность функции. Точки разрыва функции

В понятии предела при х → х ₀ считается, что х ≠ х ₀. Если же функция существует в этой точке х ₀, то это обстоятельство в определении предела не учитывается.

Теперь рассмотрим случай, когда f (х ₀) существует, причем .

Итак, пусть функция у = f (x) определена в точке х = х ₀. Тогда говорят, что функция непрерывна, если для точек х, близких к точке х ₀, значения f (x) и f (х ₀) также близки друг к другу. Смысл утверждения «если х близко к х ₀, то f (x) близко к f (х ₀)» можно записать с помощью символов: «если х → х ₀, то f (x) → f (х ₀)».

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х = х ₀, если предел этой функции при х → х ₀ совпадает со значением функции в этой точке: .

Таким образом, функция f (x) является непрерывной в точке х ₀, если выполняются три условия:

1) f (x) существует в точке х ₀;

2) f (x) имеет предел в точке х ₀;

3) .

Определение непрерывности функции позволяет менять местами символы предела lim и функции f. Действительно, так как , то для непрерывной в точке x = х ₀ функции можно записать: .

Это дает основание сформулировать следующее правило: Если функция f (x) непрерывна в точке х ₀, то при вычислении предела функции при х → х ₀ надо вместо х в выражение f (x) подставить х ₀. Полученное число и является пределом функции f (x) в точке х = х ₀.

Можно также сказать, что функция у = f (x) является непрерывной в точке х = х ₀, если в этой точке отсутствует разрыв функции. Рассмотрим несколько случаев.

1) Функция у = f (x) имеет односторонние пределы: конечный предел справа = f (х ₀+0) и конечный предел слева = f (х ₀ – 0). Допустим, что эти пределы равны, но значение функции в точке х = х ₀ не существует (эта точка на кривой у = f (x) «выколота»), т.е. f (х ₀ + 0) = f (х ₀ – 0) ≠ f (х ₀). Говорят, что функция в точке x = x ₀ имеет устранимый разрыв (можно эту точку в кривую «вставить») (рис.1).

Рис.1

Определение 2. Точка x = x ₀ – точка устранимого разрыва, если предел функции f (x) в этой точке существует, но функция в ней либо не определена, либо значение f (х ₀) функции в точке x ₀ не равно пределу функции в этой точке: .

Подобный разрыв можно устранить, если дополнить разрывную функцию до непрерывности так:

Пример 1. Функция f (x) = в точке x = 0 не является непрерывной, так как нарушено 1-е условие непрерывности – существование f (0), в самой точке x =0 эта функция не определена. Однако f (x) имеет предел, равный единице: . Поэтому точка x = 0 – точка устранимого разрыва. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, т.е. ввести новую функцию

Эта функция g (x) является непрерывной на всей числовой прямой.

Пример 2. Исследовать непрерывность функции в точке x = 0 (рис.2). В точке x = 0 эта функция не определена, значит, функция не является непрерывной. Точка x = 0 – точка устранимого разрыва, так как .

Рис.2

Пример 3. В точке x = 0 функция y = |sign x | не является непрерывной (рис.3). Первые два условия непрерывности выполнены, поскольку

f (0) = |sign(0)| = 0,

, (x = 0 – точка устранимого разрыва).

но нарушено 3-е условие: .

Рис.3

2) Пусть конечные пределы функции у = f (x) в точке x = x ₀ и справа, и слева существуют, но они не равны, т.е. f (х ₀ + 0) ≠ f (х ₀ – 0). Функция в этой точке делает «скачок» (рис.4). Точка x = x ₀ в этом случае называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода.

Рис.4

Определение 3. Точка x = x ₀ – точка разрыва 1-го рода функции f (x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:

Пример 4. f (x) = sign x = (лат. signum – знак). Функция задана на всей числовой оси (-∞, ∞), а область ее значений состоит из трех чисел: -1, 0, 1 (рис.5). Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек на оси ординат, так как при x = 0 значение функции определено по другому соответствию: f (0) = 0. То есть 1-е условие непрерывности соблюдается.

Рис.5

2-е условие непрерывности нарушено – в самой точке x = 0 не существует , хотя функция имеет конечные левый и правый пределы:

Сама же точка x = 0 является точкой разрыва 1-го рода функции sign x, поскольку пределы слева и справа не равны друг другу.

3) Определение 4. Точка x = x ₀ называется точкой разрыва 2-го рода функции f (x), если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен (рис.6).

Рис.6

Пример 5. Для функции f (x) = 1/ х точка x = 0 – точка разрыва 2-го рода, поскольку .

Пример 6. Для функции f (x) = sin(1/ х) точка x = 0 – точка разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Итак, точка x = x ₀ является точкой непрерывности функции у = f (x), если существуют конечные пределы справа и слева, и эти пределы равны значению функции в этой точке, т.е.

f (х ₀ + 0) = f (х ₀ – 0) = f (x ₀).

Если эти равенства не выполняются или хотя бы один из односторонних пределов не существует, то точка x = x ₀ – точка разрыва функции, причем:

1) если существуют односторонние пределы, но

f (х ₀ + 0) = f (х ₀ – 0) ≠ f (x ₀) или f (x) в точке x ₀ не определена, то x ₀ – точка устранимого разрыва или

f (х ₀ + 0) ≠ f (х ₀ – 0) = f (x ₀), то x ₀ – точка разрыва 1-го рода.

2) если хотя бы один из пределов f (х ₀ + 0) или f (х ₀ – 0) не существует или бесконечен, то точка x ₀ – точка разрыва 2-го рода.

Замечание 1. График непрерывной функции в точке рисуется при прохождении этой точки без отрыва ручки от листа бумаги.

Замечание 2. На языке (ε – δ) определение непрерывности повторяет определение предела, за исключением поведения функции в точке х ₀.

Определение 5. Функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что для всех х из промежутка | х – х ₀| < δ выполняется неравенство | f (x) – f (x ₀)| < ε.

В кванторах это определение выглядит так:

.

Для доказательства непрерывности функции f (x) в точке х ₀ воспользуемся определением передела и 3-м условием непрерывности .

Обозначим х – х ₀ = Δ x. Тогда условие непрерывности можно переписать:

.

По определению предела | f (x ₀ + Δ x) – f (x ₀)| < ε.

Обозначим f (x ₀ + Δ x) – f (x ₀) = α(х). Тогда |α(х)| < ε, а это означает, что α(х) есть бесконечно малая функция, т.е. .

Следовательно, доказательством непрерывности функции f (x) в точке х ₀ может служить равенство нулю предела

.

Отсюда сформулируем определение непрерывности на языке приращений.

Дадим значению аргумента х ₀ произвольное приращение Δ х = х – х ₀. Тогда функция f (x) получит приращение Δ у, определяемое как разность наращенного и исходного значений функции: Δ у = f (х ₀ + Δ х) – f (x ₀) = f (x) – f (x ₀) (рис.7).

Рис.7

Определение 6. Функция f (x) – непрерывная в точке x = x ₀, если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращению аргумента Δ х→ 0 соответствует бесконечно малое приращение функции Δ у→ 0:

Определения 1 и 5 эквивалентны, поскольку фразы «если х → х ₀, то f (x) →f (х ₀)» и «если Δ х = (x – x ₀) → 0, то Δ у = (f (x) – f (x ₀)) → 0» равнозначны.

Определение 7. Функция f (x) – непрерывная на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ а, b ], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Поэтому можно считать, что для каждой основной элементарной функции ее область непрерывности совпадает с её областью определения D (f).

Пример 6. Показать, что функция у = х ² непрерывна в любой точке х ₀ числовой оси.

Решение: Составим разность f (х ₀ + Δ х) – f (x ₀) = (х ₀ + Δ х)² – x ₀² и и возьмем её предел при Δ х → 0:

Значит, функция у = х ² непрерывна в любой точке х ₀.

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения.

Пример 7. Доказать непрерывность функции у = sin х на всей области определения.

Решение. Составим разность sin (х + Δ х) – sin х,

Это означает, что функция у = sin х непрерывна в любой точке х числовой оси.

Отсюда сформулируем правило: Если функция f (x) элементарна, и точка x ₀ принадлежит области определения этой функции, то при вычислении предела функции при х → х ₀ надо вместо х в выражение f (x) подставить х ₀. Полученное число и является пределом функции f (x) в точке х = х ₀:

Если f (x) –элементарна и х ₀ є D (f), то .

Замечание. Это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у = [ х ], хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция – функция Дирихле, определенная на всей числовой прямой, имеет разрыв в каждой точке.

---

Дата добавления: 2015-07-11