Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем для любого и ,

Тогда:

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

Пример2. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной .

Тогда . Пересчитаем пределы интегрирования: при , а при .

.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции и дифференцируемы на отрезке , то справедлива следующая формула .

Пример3. Вычислить .

Решение. Обозначим , .

Тогда , .

.

Геометрические приложения определенного интеграла

Дата добавления: 2015-07-11