Теоретическое введение. Министерство Российской Федерации

Министерство Российской Федерации

По связи и информатизации

Сибирский государственный университет

Телекоммуникаций и информатики

Кафедра физики

Методические указания

К лабораторной работе по теме

«Исследование свободных затухающих колебаний в электрическом контуре»

Разработчик: ст. преподаватель Стрельцов А. И.

Новосибирск

Лабораторная работа 5.1

Исследование свободных затухающих колебаний в электрическом контуре

Цель работы:

1. Ознакомиться с физическими процессами, происходящими в электрическом контуре

2. Исследовать влияние величин ёмкости конденсатора и индуктивности катушки на период колебаний в контуре с малым сопротивлением

3. Установить характер зависимости логарифмического декремента затухания колебаний от сопротивления контура.

Теоретическое введение

Процессы периодического изменения какой-либо физической величины с течением времени называются колебательными процессами или просто – колебаниями.

Устройство или совокупность физических тел, в которых может происходить колебательный процесс, называют колебательной системой. Каждая колебательная система обладает единственным состоянием, в котором она может находиться бесконечно долго, не совершая колебаний. Такое состояние колебательной системы называется состоянием равновесия. Следовательно, чтобы в системе возникли колебания, её необходимо хотя бы один раз вывести из состояния равновесия.

Классифицировать колебательные процессы можно по нескольким основаниям:

· По физической природе колебания бывают механическими и электромагнитными,

· По наличию внешних сил в колебательной системе колебания делятся на свободные и вынужденные.

· По характеру зависимости амплитуды от времени различают незатухающие и затухающие. Незатухающие колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, часто называют гармоническими.

Свободными называются колебания в системе в отсутствие внешних воздействий на эту систему. Если же на колебательную систему действует внешняя (периодически изменяющаяся) сила, такие колебания будут вынужденными.

В идеальной колебательной системе, в которой отсутствуют диссипативные силы (силы трения, сопротивления и т. п.), колебания будут продолжаться вечно. Такие процессы получили название незатухающих колебаний. Поскольку в реальных колебательных системах всегда присутствуют силы сопротивления, то однажды возникшие в системе колебания не будут продолжаться вечно. С течением времени их амплитуда будет все меньше и меньше, в конце концов, она станет равной нулю и колебания прекратятся. Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени, называются затухающими. Именно этот вид колебаний мы и будем исследовать в данной работе.

Устройство, в котором могут существовать электромагнитные колебания, называется электрическим колебательным контуром. Существует два вида колебательных контуров:

· Контур без активного сопротивления (идеальный контур). В таком колебательном контуре однажды начавшиеся электромагнитные колебания будут продолжаться вечно. Схема идеального колебательного контура изображена на рисунке 1.

· Контур с активным сопротивлением (реальный контур). В реальном контуре амплитуда колебаний будет уменьшаться с течением времени за счет потерь энергии на нагревание сопротивления, то есть, колебания будут затухающими. Схема реального колебательного контура изображена на рисунке 2.

Рисунок 1 Рисунок 2

В данной работе нас будет интересовать реальный колебательный контур (рисунок 2). Для математического описания процессов в реальном контуре используем второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжения в контуре равна алгебраической сумме действующих в нем ЭДС.

(1)

Падение напряжения:

· На активном сопротивлении

(2)

где - сила тока в контуре, - активное сопротивление,

· На конденсаторе

(3)

где - заряд конденсатора, - его ёмкость. Формула (3) следует из определения электрической ёмкости.

(4)

ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении силы тока в ней, а, следовательно, и магнитного потока сквозь её сечение. Величина ЭДС индукции определяется согласно закону электромагнитной индукции Фарадея:

ЭДС индукции в замкнутом контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока через сечение контура:

(5)

где - магнитный поток через площадь сечения катушки. Формула (5) может быть записана в другом виде:

(6)

где - индуктивность катушки.

Второе правило Кирхгофа (1) для нашего контура запишется в виде

(7)

Подставим выражения (2), (3) и (6) в формулу (7):

(8)

По определению, сила тока – это первая производная заряда по времени:

(9)

Тогда, подставив (9) в (8) и выполнив деление каждого слагаемого на , перейдем в нем к единственной переменной – заряду:

(10)

Это и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний электрического заряда в реальном колебательном контуре. Его решениями являются функции

(11)

и

(11’)

где

(12)

- амплитуда затухающих колебаний заряда, а

(13)

- коэффициент затухания, показывающий интенсивность убывания амплитуды колебаний. График затухающих колебаний, соответствующий выражению (11), приведен на рисунке 3.

Рисунок 3. График затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора.

Величина

(14)

получила название собственной частоты колебательного контура. Подставляя решение (11) в уравнение (10) и выполнив необходимые тригонометрические преобразования, получив выражение для вычисления частоты затухающих колебаний в контуре:

(15)

Изменение амплитуды затухающих колебаний, согласно (12), происходит по экспоненциальному закону. Пусть за время амплитуда колебаний уменьшится в раз ( - основание натуральных логарифмов). Тогда, с одной стороны,

(16)

с другой стороны,

(17)

Из этих соотношений следует, что , откуда

(18)

Величина , определяемая формулой (18), получила название времени релаксации. Таким образом, время релаксации – это промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз. Из (18) и (13) можно выразить время релаксации через параметры контура:

(19)

Кроме перечисленных выше величин, затухание колебаний в реальном контуре характеризуется еще двумя параметрами: логарифмическим декрементом затухания и добротностью колебательного контура.

Логарифмический декремент затухания – физическая величина, равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период:

(20)

Упростив (20), получив еще одно выражение для логарифмического декремента затухания

(21)

Добротность колебательной системы – это физическая величина, равная произведению на отношение энергии системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за один период затухающих колебаний:

(22)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

(23)

При малых значениях логарифмического декремента затухания добротность колебательной системы равна

(24)

Из (13), (15) и (21) следует выражение добротности системы через параметры контура:

(25)

Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание и тем дольше будут длиться колебания в ней.

Дата добавления: 2015-12-08