Обратная матрица

Читайте также:

Матрица называется обратной к матрице , если где единичная матрица.

Минор матрицы – определитель матрицы, полученной из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов. Обозначение: М. Минор называется дополнительным к минору М и состоит из оставшихся после вычеркивания -й строки и -го столбца элементов. Это понятие применяется к квадратной матрице.

Алгебраическое дополнение .

Невырожденной называется квадратная матрица , если

Теорема. Для того чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице , необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Если ,

то обратная матрица имеет вид

где алгебраические дополнения элементов .

Обратную матрицу можно найти и с помощью элементарных преобразований:

Определение 4. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Обозначение:
, .

Примеры решения задач

Задача 1. Умножить матрицу на число .

Решение. .

Задача 2. Дано: , . Найти и .

Решение.

каждый элемент умножили на число 2. При умножении определителя на число умножаем на это число какой-либо ряд:

и т.д. В первом случае умножим на 2 первую строку, во втором – второй столбец, в третьем – третий столбец.

Задача 3. Найти произведения , , , , , , , если они существуют:

Решение. Проверим согласованность матриц , , .

Для : , длина строк матрицы не равна высоте столбца матрицы , следовательно, матрицы перемножать нельзя.

Для : матрицы согласованы, получим матрицу размерности :

Для – матрицы согласованы, в результате получим матрицу размерностью :

Для : – произведение не существует.

Для матрицы согласованы :

Заметим, что элементы матрицы произведения получаются при перемножении -й строки матрицы на -й столбец матрицы :

, .

Для : квадратичная матрица всегда согласована с квадратичной матрицей той же размерности

Задача 4. Дано: , . Найти .

Решение.

, .

Таким образом, – матрицы коммутативны.

Задача 5. Показать, что является корнем многочлена .

Решение.

так как получили нулевую матрицу, матрица является корнем многочлена .

Задача 6. Найти определитель произведения матрицы А = на транспонированную .

Решение.

Пусть , тогда

и ,

Задача 7. Найти обратную матрицу, если она существует:

а) , б) .

Решение.

а) , матрица вырожденная, так как и обратной матрицы не имеет;

б) , Найдем алгебраические дополнения

, , ;

алгебраическое дополнение первой строки запишем в первый столбец обратной матрицы: .

Ищем алгебраическое дополнение второй строки:

, , ; .

Ищем алгебраическое дополнение третьей строки:

, ,

;

Матрицы порядка больше удобнее искать с помощью элементарных преобразований.

Найдем другим способом – с помощью элементарных преобразований:

По определению , тогда:

В результате элементарных преобразований получим в левой части равенства единичную матрицу. Преобразования должны проводиться одновременно над левой и правой частью равенства: