Основные теоретические сведения. · Система двух уравнений с двумя неизвестными:

Читайте также:

· Система двух уравнений с двумя неизвестными:

	– матрица-столбец свободных членов;
	– матрица-столбец членов при неизвестном ;
	– матрица-столбец членов при неизвестном ;

, , – определитель системы.

Определитель – определитель, полученный заменой столбца при неизвестном на столбец свободных членов.

Формулы Крамера: ; .

· Формулы Крамера , справедливы для систем линейных уравнений с неизвестными при условии, что .

1. Если , система имеет единственное решение: .

2. Если , то система имеет множество решений (эти решения будем искать методом Гаусса).

3. Если и хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместна).

· Решение систем из двух уравнений с тремя неизвестными:

Пусть , тогда систему можно решать по формулам Крамера.

Решение системы запишем в виде:

; ; .

Для запоминания порядка коэффициентов при неизвестных нарисуем такую “вертушку”:

Для неизвестного – в определители записываем коэффициенты при и ; для неизвестного – двигаясь по часовой стрелке, коэффициенты при и ; для неизвестного – коэффициенты при и .

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить определители:

а)

;

б) ;

в) .

Задача 2. Вычислить определитель следующими способами:

а) по правилу треугольников:

;

б) разложением по первой строке (по определению):

;

в) разложением по второму столбцу:

Задача 3. Вычислить, используя свойства определителей:

а)

;

б)

;

в)

Задача 4. Вычислить определитель Вандермонда и выяснить, при каких значениях , , этот определитель равен нулю:

Определитель равен нулю при равенстве какой-либо пары чисел из , , .

Задача 5. Доказать, что

а) .

Решение.

;

б) .

Решение.

Задача 6. Решить уравнение:

а) .

Решение.

, , по теореме Виета: , ;

б) .

Решение.

, , , по теореме Виета: , ;

в) .

Решение.При определитель равен нулю при любых . Если , то

, .

Или, преобразуя определитель и складывая первую строку со второй и третьей, получаем

, .

Задача 7. Привести определитель к треугольному виду и вычислить:

1) .

Решение. Используя свойство линейности, вычтем первую строку из второй, прибавим первую строку к третьей, вычтем первую строку, умноженную на 2, из четвертой