Читайте также:
|
|
Задание: Для электрической цени определить после коммутации ток: , если параметры цепи:
E = 200B; L = 10мГн = 10 Гн; С = 10мкФ = Ф; R1 = 100Ом
R2 = 0 Oм; R3 = 50 Ом; R4 = 100 Oм.
Рассчитываем цепь до размыкания ключа и определяем ток через индуктивность i1(0-) и напряжение на емкости uc(0-). Так как E = const, то
uL(0-) = и i1(0-) = .
Для любого узла по первому закону Кирхгофа имеем:
i3(0-) = i1(0-) + i2(0-) т.к. i1(0-) = 0 то, i3(0-) = i2(0-).
По второму закону Кирхгофа имеем:
i3(0-)*R1 + uL(0-) = E;
i3(0-)*R1+i1(0-)*R3+uc(0-) = E.
Отсюда имеем:
i3(0-) = i2(0-) =
По первому и второму закону коммутации:
Определим принужденные значения тока через индуктивность и напряжение на конденсаторе.
Рис 3.1 Схема после коммутации
Характеристическое уравнение получим, используя метод аналогии его с входным сопротивлением цепи на переменном токе. Для этого разрываем любую ветвь и относительно разрыва записываем входное сопротивление.
Рис 3.2 Схема после разрыва
.
Из выражения получаем, заменим и приравняв уравнение:
После преобразований получим корни характеристического уравнения:
p1= -3174,34;
p2= -7875,66.
Ввиду того, что корни характеристического уравнения действительные, отрицательные, неравные свободная составляющая тока (напряжения) будет иметь вид:
, а полный ток:
(3.1)
Так как (3.1) содержит две постоянные интегрирования, для их нахождения необходимо второе уравнение, которое получают из (3.1) путем дифференцирования по переменной t:
(3.2)
Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся из начальных условий, для этого в уравнения (3.1) и (3.2) необходимо подставить момент времени t = 0. После подстановки получим систему:
(3.3)
Следовательно, для определения постоянных интегрировования из (3.3) требуется найти значения токов (напряжений):
, , , .
Для их нахождения составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы рис. 3.1:
(3.4) Система уравнений содержит 5 неизвестных , поэтому дополним эту систему еще двумя равенствами:
, (3.5) . (3.6)
Систему уравнения (3.4) запишем для момента времени t = 0 и подставим независимые начальные значения, и значения сопротивлений. Получим
(3.7)
Из решения системы уравнений (3.7) получаем:
Таким образом, мы определили значения токов и напряжений в момент коммутации. Данные расчета вносим в таблицу 3.1.
Таблица 3.1.
i 1 | i 2 | i 3 | uC | uL | |
Принужденная составляющая | 1 A | 1 A | 100 В | ||
Значение в момент t =0+ | 2 A | 2 A | 0 В | -200 В | |
Значение производной в момент t = 0+ | -2*105 A/с | 3*105 A/с | 105 A/с | - 0 В/с | -4*107 В/с |
Определяем значения производных токов и напряжений в момент коммутации. Так как законы Кирхгофа справедливы и для производных, следовательно, можно использовать систему (3.4) и уравнения (3.5), (3.6) для их определения.
Из (3.4) при t = 0 можно определить производную первого тока
Продифференцируем по переменной t равенство (3.5), получим:
Для определения остальных производных продифференцируем систему (3.4) и запишем ее при .
С учетом найденных производных и находим:
, , .
Полученные результаты заносим в таблицу 3.1.
Ввиду того, что принужденный (установившийся) режим постоянный, то и значение принужденных токов и напряжений при будут теми же, что и в таблице 3.1. По этой же причине (принужденные токи и напряжения не зависят от времени) производные принужденных значений равны нулю.
Определяем из системы (3.3) постоянные интегрирования А 1 и А 2 для тока , подставляя данные из таблицы 3.2 в (3.1).
;
Откуда: A1 = - 42.5; A2 = 42.5.
Записываем закон изменения тока :
А.
Для построения графика тока будем использовать программу MathCad.
Рис 3.3 График тока
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 65 | Нарушение авторских прав