Пример 6. Колебательное звено

Это звено может возвращаться в исходное состояние по окончанию воздействия на него колебательным или монотонным образом в зависимости от его параметров.

Физически колебательное звено содержит два элемента, способных накапливать энергию разного вида (кинетическую и потенциальную, электрическую и магнитную), а также один или несколько элементов способных рассеивать энергию.

Рис. 3.12. Представление колебательного звена на структурной схеме

Колебательное звено это такое звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид:

, 0< ξ <1 – коэффициент демпфирования (затухания). (3.17)

Звено характеризуется тремя параметрами:

· Т – постоянная времени, сек;

· k – коэффициент усиления, может быть размерным;

· ξ - декремент затухания, характеризующий скорость затухания свободных колебаний звена.

· Если ξ < 1, звено называется колебательным.

· Если ξ ≥ 1, звено называется апериодическим звеном II порядка.

Как видно из дифференциального уравнения, передаточная функция колебательного звена имеет вид:

(3.18)

Отсюда, характеристическое уравнение имеет вид:

При решении данного уравнения могут быть два случая:

а) s₁ и s₂ – действительные корни (апериодическое звено II порядка, при этом ξ ≥ 1);

б) s_1,2 = -σ ± jω - комплексно сопряженные корни.

Движение корней на комплексной плоскости при изменении декремента затухания ξ колебательного звена от бесконечности до нуля. С уменьшением ξ, но при ξ ≥ 1, корни двигаются навстречу друг другу по действительной оси и совпадают при ξ = 1. Далее, при уменьшении ξ корни расходятся по окружности радиуса 1/Т и стремятся к мнимой оси при ξ → 0.

Частотная передаточная функция колебательного звена:

-алгебраическая форма представления

Рис. 3.14. АФЧХ колебательного звена:

- показательная форма представления.

Рис. 3.15. АЧХ колебательного звена:

Формулы ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена получаются из (3.22)

Рис. 3.15. ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена. На низких частотах ЛАЧХ любого колебательного звена проходит на уровне 20lg(k), а на высоких частотах ЛАЧХ имеет наклон –40 дБ/дек. Линии аппроксимации, проведенные их области нижних частот и из области верхних частот, пересекаются на частоте 1/Т, обратной постоянной времени Т звена. ЛАЧХ звена с декрементом затухания ξ = 0.5 практически совпадает с линиями аппроксимации. При ξ < 0.5 ЛАЧХ имеет пик, высота которого A = 20lg(1/2δ) позволяет определить величину декремента затухания ξ. Эта формула работает и для ξ > 0.5, когда ЛАЧХ проходит ниже линий аппроксимации. ЛФЧХ всех колебательных звеньев на нижних частотах стремятся к нулю, на верхних частотах они стремятся к -180⁰, а на частоте -1/Т, все они имеют значение - 90⁰. Крутизна ЛФЧХ увеличивается с уменьшением декремента затухания ξ.

Переменные: k, T, ξ определяют поведение ЛАЧХ и ЛФЧХ и, в свою очередь, могут быть определены по этим характеристикам (см. рис. 3.11).

При малом затухании (ξ < 0.5) – резонанс.

Дата добавления: 2015-12-08