Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течении всего времени движения.

При этом также неподвижны остаются все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения.

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость и подвижную , скрепленную с вращающимся телом (рис. 3.3). Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и, следовательно твердого тела определяется углом между плоскостями - . Угол называется углом поворота тела.

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени, если задано уравнение

,

(3.2)

где – любая дважды дифференцируемая функция. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Oz. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Введем понятие алгебраической угловой скорости и углового ускорения.

Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла в этот момент, т.е. .

Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной – при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.
Модуль угловой скорости обозначают . Тогда

(3.3)

Размерность угловой скорости [ ] = угол/время = рад/с = с^-1. В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За 1 мин. тело повернется на угол , если – число оборотов в минуту. Разделим этот угол на число секунд в минуту, получим
.

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической угловой скорости, т.е. вторую производную от угла поворота .

Модуль углового ускорения обозначим , тогда

(3.4)

Размерность углового ускорения [ ] = рад/с² = с^-2.
Если , - тело вращается ускоренно в положительную сторону (против часовой стрелки). При , тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. При , - замедленное вращение совершается в отрицательную сторону.
Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения тела.

3.4.2 Частные случаи вращения твердого тела

Вращение называется равномерным, если . Алгебраическая угловая скорость отличается от модуля скорости только знаком. Поэтому она тоже постоянна и при интегрировании ее можно вынести за знак интеграла. Имеем
.
Если принять при .
Вращение будет равнопеременным, если . Алгебраическое ускорение при этом тоже постоянно.
При интегрировании имеем
,
если при .
Далее:
.
Если при .
В общем случае, если не постоянно
.

3.4.3 Скорости и ускорения точек твердого тела

Рассмотрим поведение точки, лежащей на плоскости, перпендикулярной оси вращения. Известно уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 3.4). Расстояние S точки M в подвижной плоскости по дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки , расположенной в неподвижной плоскости, выражается через угол зависимостью , где – радиус окружности, по которой перемещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точки M до оси вращения.
Его называют радиусом вращения точки. Алгебраическую скорость точки M определяем по формуле

(3.5)

Скорость точки тела при вращении ее вокруг неподвижной оси пропорциональна кратчайшему расстоянию до этой оси.

Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость. Скорость точки направлена по касательной к траектории и, следовательно, перпендикулярна прямой, соединяющей точку с центром вращения.
Скорости точек, расположенных на отрезке прямой OM, распределены по линейному закону. Они взаимно параллельны и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения (рис. 3.4).

Ускорение точки разлагаем на касательную и нормальную составляющие (рис. 3.5)
.
Касательное и нормальное ускорения вычисляют по формулам

,

(3.6)

т.к. для окружности радиус кривизны . Таким образом

.

(3.7)

Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При и или и направления векторов и совпадают. Если и имеют разные знаки, то и направлены противоположно друг другу.
Обозначим угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем

.

(3.8)

так как нормальное ускорение всегда положительно. Угол для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела (рис. 3.5).

Дата добавления: 2015-12-08