Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Читайте также:
  1. ZTPI и процессы личности
  2. А. Расчет электрических нагрузок
  3. Автоволновые процессы в современных и вымерших популяциях организмов.
  4. Активные процессы в лексике и фразеологии
  5. Активные процессы в морфологии
  6. Активные процессы в области ударения
  7. Активные процессы в синтаксисе

2.4.1.Определение переходных процессов.

Электрические цепи постоянного и переменного тока и расчет их мы рассматривали ранее в установившемс я режиме, т. е. при установившихся напряжениях и токах.

В установившемся режиме напряжения и токи во всех участках электрической цепи остаются неизменными в течение сколь угодно большого промежутка времени. В понятие неизменных напряжений и токов в данном случае включаются не только постоянные, но и синусоидальные напряжения и токи с постоянной амплитудой и частотой.

Однако по условиям эксплуатации и характеру работы электроустановок или по другим (в том числе случайным) причинам иногда могут происходить изменения режимов в электрических цепях.

Для перехода от одного установившегося режима к другому требуется некоторый переходный период, в течение которого величины токов и напряжений в электрической цепи изменяются. С большей или меньшей скоростью эти величины приходят в соответствие с условиями нового режима.

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи к другому в результате изменения напряжения (амплитуды колебаний) источника э.д.с., частоты, формы или фазы действующей в схеме э. д. с., значений параметров схемы, а также вследствие изменения конфигурации цепи.

Непосредственными причинами возникновения переходных процессов могут быть коммутационные изменения в цепи. Коммутация — это процесс замыкания (рис. 2.19, а) или размыкания (рис. 2.19, б) выключателей, включающих или отключающих источники питания или приёмники энергии (нагрузки).

Рис. 2.19

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.

Теоретически коммутация считается мгновенной. При наличии в цепях реактивных элементов переход от одного установившегося режима к другому никогда не происходит мгновенно. Это объясняется тем, что переход к новому установившемуся режиму связан с нарастанием или убыванием электрической и магнитной энергии W э и W м в реактивных элементах. При мгновенном изменении энергии мощность бесконечно велика, что может быть лишь при бесконечно больших токах и напряжениях в цепях

В реальности переходные процессы являются, как правило, достаточно быстро протекающими: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже миллиардные доли секунды, и лишь в исключительных случаях достигает секунд и десятков секунд.

Тем не менее, изучение переходных процессов важно, так как оно дает возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители и другие устройства. Кроме того, знание переходного процесса позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса и вызвать выход из строя имеющихся в цепи проводников.

В данном разделе будут рассмотрены процессы, возникающие при включении цепи под действие источника постоянного напряжения (постоянной э.д.с) и отключении цепи от источника. Очевидно, что такое включение и отключение цепи эквивалентно воздействию на цепь прямоугольного импульса достаточно большой длительности.

Действительно, включение в момент времени t = t 0 ключом K (рис. 2.20, а) в цепь источника постоянной э.д.с. (или постоянного напряжения) эквивалентно воздействию на цепь источника е(t) (рис. 2.20, 6), э.д.с. которого изменяется во времени, как показано на рис. 2.20, в. Если ключ К через время τ и после включения переключается из положения 1 в положение 2, соответствующая эквивалентная э.д.с. е(t) имеет вид прямоугольного им-

Рис.2.20

пульса с амплитудой E и длительностью τи, приведенного на рис. 2.20, г.

Момент включения источника t = t 0 соответствует фронту импульса, момент включения источника t = t 0 + τи соответствует срезу импульса. Промежуток времени 0 ÷ τи соответствует длительности вершины импульса.

В случае выбора длительности вершины τи значительно больше времени переходного процесса во время вершины импульса можно исследовать процессы, возникающие при включении источника в цепь. При t > t 0 + τи (с момента формирования среза импульса) можно исследовать процессы в цепи при отключении источника (положение 2ключа K).

При соизмеримости длительности импульса τи со временем переходного процесса (и малой ти) передача импульса электрической цепью не эквивалентна процессам включения и отключения источника постоянной э.д.с.

Условимся начало отсчета времени t = 0 совмещать с моментом коммутации t 0 (или t = t 0 + τи), то есть считать t 0 = 0 и обозначать через t 0 = –0 момент времени, непосредственно прилегающий к моменту коммутации (до коммутации), и через t 0 = +0 — момент времени, также непосредственно прилегающий к моменту коммутации, но после коммутации.

Как уже отмечалось, в любой электрической цепи, в которой не могут развиваться бесконечно большие напряжения или протекать бесконечно большие токи, мгновенная мощность Р величина всегда конечная, и поэтому в таких цепях не может иметь место мгновенное изменение накопленной в электрических и магнитных полях энергии. Если изменение энергии во время коммутации за время t→ 0 обозначим ∆W = W(+ 0 ) – W(– 0 ), то получим ∆W = P∆t→ 0, следовательно,

W(+ 0 ) = W(– 0 )

Так как энергия электрического поля конденсатора

и энергия магнитного поля катушки индуктивности

,

то равенство ∆W = 0 обозначает, что в момент коммутации напряжения на обкладках конденсаторов и токи в катушках индуктивности остаются неизменными.

Таким образом, законы коммутации могут быть сформулированы следующим образом:

Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктивный элемент непосредственно до коммутации iL (0) равен току через этот же индуктивный элемент iL (0+) непосредственно после коммутации, т.е.

iL (0) = iL (0+) (2.47,а)

Время t = 0 представляет собой время непосредственно до коммутации, t = 0+ — после коммутации (рис. 2.21). Равенство (2.47,а) и выражает собой первый закон коммутации.

Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации иC (0), а напряжение на нем непосредственно после коммутации иC (0+).

В соответствии с невозможностью скачка напряжения на конденсаторе

иC (0) = иC (0+) (2.47,б)

Равенство (2.47,б) выражает собой второй закон коммутации.

Рис. 2.21.

Законы коммутации позволяют определять независимые начальные условия, соответствующие токам индуктивностей и напряжёниям конденсаторов цепи в момент коммутации.

Кроме независимых начальных условий, существуют зависимые начальные условия, соответствующие напряжениям индуктивностей и токам конденсаторов. Зависимые начальные условия находятся на основе уравнений цепи, определяемых по законам Кирхгофа, и независимых начальных условий.

Для расчета переходных процессов в электрических цепях применяются следующие методы:

1. Классический метод.

2. Операторный метод.

3. Спектральный метод.

4. Метод интеграла Дюамеля.

Наиболее наглядным является классический метод расчета. При классическом методе расчета исследуемый ток I (напряжение U ) разделяется на две оставляющие:

i = i св + i пр; u = u св + u пр

где i св (u св) — свободный ток (напряжение), действующие лишь в период установления, i пр (u пр) — принужденный ток (напряжение), действующие в установившемся режиме.

Рассчитываемый ток i (или напряжение и ) является полным интегралом линейного неоднородного дифференциального уравнения цепи, составленного на основе законов Кирхгофа:

i св является общим решением этого уравнения без свободного члена (то есть при E(t) = 0);

где a к — корни характеристического уравнения;

A k — постоянные интегрирования;

i пр является частным решением уравнения, определяемым видом свободного члена E(t).

Постоянные интегрирования A k определяются на основе независимых и зависимых начальных условий.

2.4.2. Процессы в Lr – цепи.

Включение на постоянное напряжение при нулевой начальной энергии в индуктивности WL(0) =0.

Пусть в цели (рис. 2.22) ключ К замыкается в момент t = 0.

Рис. 2.22.

Приложенное напряжение равно сумме падения напряжения на омическом сопротивлении и падения напряжения, уравновешивающего э.д.с. самоиндукции возникающую в индуктивности L:

(2.48)

Представим, как указывалось выше, суммарный ток в цепи в и виде суммы свободного и принуждённого токов:

i = i св + iпр

Напомним, что iпр находится, как частное решение дифференциального уравнения для установившегося режима, когда э.д.с. самоиндукции
обращается в 0, т.е.:

 

Значение свободного тока i св находится как общее решение дифференциального уравнения без свободного члена

(2.49)

и имеет вид

Подставив значение i св в (2.49), получим

или, сократив на Aekt,

r + Lk = 0

откуда и, следовательно

Тогда (2.50)

В начальный момент, когда t = 0, ток также равен 0 (закон коммутации: при uL (0) =0).

, откуда

Подставив значение A в (2.50), получим:

(2.51)

 

Величина называется постоянной времени и является промежутком времени, за который величина тока достигает 63% величины установившегося тока данной цепи.

Подставив в известную формулу значение тока, рассчитанное по формуле (2.50)определим напряжение на индуктивности:

(2.52)

Кривые тока и напряжения для данного случая изображены на рис. 2.23.

 

Рис. 2.23.

Отключение от источника постоянного напряжения.

При отключении цепи, содержащей r,L (рис. 2.24) (rp сопротивление источника), от источника электрической энергии на индуктивности L возникает э.д.с. самоиндукции еL.

Рис. 2.24.

Пусть ключ размыкается снова в момент времени t = 0. Тогда

Очевидно, что в этом случае iпр = 0, а

Постоянная A определяется из начальных условий:

Тогда для величины тока получим следующее выражение:

, (2.53)

 

где – постоянная времени рассматриваемой цепи.

Подставив в известную формулу значение тока из (2.53), получим выражение для определения напряжения на индуктивности:

(2.54)

Кривые тока и напряжения при отключении цепи rL от источника постоянного напряжения приведены на рис. 2.25.

Рис. 2.25

2.4.2. Процессы в rC – цепи

Включение на постоянное напряжение при нулевой начальной энергии конденсатора WC( 0 ) = 0

 

Пусть в цепи, изображённой на рис 2.26, ключ замыкается в момент t 0 = 0. Согласно уравнению Кирхгофа в этом случае должно выполняться равенство: U 0 = U r + U C. Но U r = ir, а , (2.55)

Рис. 2.26.

следовательно, переходный процесс описывается следующим уравнением:

(2.55а)

Как уже говорилось ранее, решение данного уравнения ищется в виде суммы «свободного u Cсв» и «принуждённого u Cпр» напряжений.

При этом u Cпр является частным решением дифференциального уравнения (2.55), когда ток переходного процесса в цепи прекращается и величина напряжения на емкости становится равной U 0, т.е.

u Cпр = U 0 (2.56)

Величина напряжения u Cсв из решения однородного уравнения

(2.57)

в виде (2.58)

В начальный момент, когда t = 0, согласно закону коммутации и U с = 0, из равенства u C = u Cсв + u Cпр = следует, что A = – U0.

Тогда соотношение (2.58) примет вид

(2.58а)

Подставив теперь в выражение u C = u Cсв + u Cпр значения u Cсв и u Cпр, получим:

, (2.59)

где τ = rC – постоянная времени цепи.

Формула (2.55) с учётом выражения (2.59) примет вид:

(2.60)

Кривые тока и напряжения при включении цепи на постоянное напряжение изображены на рис. 2.27

Рис. 2.27

0тключение от источника постоянного напряжения.

Пусть в цепи (рис. 2.28) ключ размыкается в момент t = 0. В этом случае уравнение Кирхгофа примет вид::

Рис. 2.28.

(2.61)

Из (2.61) очевидно, что для установившегося процесса u C = u Cпр = 0

Значение u Cсв ищем в виде

Постоянную А находим на основании закона коммутации (uC(0) = U0) из начальных условий: при t = 0 U 0 = A


Тогда:

(2.62)

 

где τ =(r + r 1 — постоянная времени этой цепи

(2.63)

Кривые тока и напряжения при отключении источника постоянного напряжения от цепи изображены на рис. 2.29.

Таким образом, в рассмотренных цепях напряжения и токи во время переходного процесса изменяются по экспоненциальному закону.

Постоянная времени цепи τ характеризует скорость переходного процесса.

За время t =τ убывающая по экспоненте величина уменьшается в е раз (е — основание натуральных логарифмов) и достигает 0,37 своего первоначального значения, а нарастающая — 0,63 установившегося значения.

За время t = 3τ и t ≈ 5τ убывающая величина достигает соответственно 0,05 и 0,01 своего первоначального значения. Возрастающая величина за время t = 3τ и t ≈ 5τ достигает соответственно 0,95 и 0,99 установившегося значения.

В силу сказанного, переходный процесс считается практически законченным за время t = (3 ÷ 5)τ


Из приведённых выше соотношений (2.59) и (2.62)следует, что разность потенциалов на конденсаторе никогда не будет больше э. д. с. внешнего источника U 0. Однако ток в цепи может оказаться значительной величины. Действительно, если конденсатор не был предварительно заряжен, то в момент включения в цепь батареи U 0 значение тока определится формулой (2.60), из которой следует, что при t = 0 . Аналогичное значение получит ток в первый момент при разряде конденсатора (2.63). Очевидно, что в обоих случаях при малом значении сопротивления цепи (r или r + r1 соответственно) ток может достигать значительной величины. Эту особенность следует учитывать при работе со схемами, содержащими конденсаторы большой емкости.

2.4.4. Дифференцирующие и интегрирующие цепи.

Проанализированные выше RL –и – цепи широко используются в вычислительной и импульсной технике в качестве цепей, позволяющих получать таки и напряжения, пропорциональные производным и интегралам от входного напряжения, а также для преобразования формы входных импульсов.

Дифференцирующие цепи имеют вид, соответствующий рис. (2.29,а) интегрирующие цепи соответствуют рис. (2.29,б).

Рис. 2.29

Для цепей рис. 2.29,а справедливы соотношения:

для цепи : u вх = u С + u выхC

для цепи LC u вх = u R + u выхL

Но:

, (2.64)

а u C = u вх – u выхC. (2.64,а)

Соответственно:

 

, (2.65)

а u R = u вх – u выхL = iL R, поэтому (2.65,а)

Подставив (2.64,а) в (2.64), а (2.65,а) в (2.65), получим:

 

Таким образом, очевидно, что для обеих цепей выходное напряжение может быть записано в общем виде

(2.66)

где τ — постоянная времени цепи.

Из выражения (2.66) следует, что дифференцирование входного напряжения u вх тем точнее, чем меньше u вых по сравнению с u вх, т. е. при u вх >> u вых. Анализ показывает, что это неравенство выполняется, когда постоянная времени τ значительно меньше длительности входного сигнал u вх или его дифференцируемой части.

Для цепей, изображённых на рис 2.29,б справедливы следующие соотношения:

для цепи : u вх = u R + u выхC

для цепи RL u вх = u L + u выхL

Но для цепи :

, (2.67)

где , (2.67,а)

поэтому

Аналогично для цепи RL

, (2.68)

где u L = u вх – u выхL (2.68,а)

Подставив (2.28,а) в (2.68), получим:

Очевидно, что также, как и в случае дифференцирования, для обеих цепей выходное напряжение может быть записано в общем виде

, (2.69)

откуда следует, что интегрирование входного напряжения uвх тем точнее, чем меньше uвых по сравнению с u вх, как и в случае дифференцирующих цепей. Анализ показывает, что для интегрирующих цепей это условие выполняется, когда постоянная времени τ значительно больше длительности входного сигнала или его интегрируемой части.

Для uвх, представляющего собой идеальный прямоугольный импульс, выходное напряжение дифференцирующих цепей имеет вид двух коротких импульсов, соответствующих фронту и срезу импульса (см. рис. 2.30,а), выходное напряжение интегрирующих цепей имеет форму треугольных импульсов, нарастающая и спадающая части которых приблизительно линейны (см. рис. 2.30,б).

Рис.2.30

Получаемая форма выходного напряжения дифференцирующих и интегрирующих цепей легко объясняется с помощью соотношений, приведенных выше при анализе переходных процессов в RL –и RC – цепях.


Реальная, экспериментально полученная, форма выходных импульсов интегрирующих RL – цепей искажается в результате влияния собственной паразитной емкости катушек индуктивности, как показано на рис.2.30,б. Отмеченное влияние паразитной ёмкости ограничивает применение интегрирующих и дифференцирующих RL – цепей по сравнению с RC – цепями.


Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 136 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.037 сек.)