Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела 1 страница

получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения , тензоров деформаций и напряжения в любой точке области D, занятой телом, и в любой момент времени.

В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.

Трем уравнениям движения [см. формулу (1.45)]

. (4.37)

Шести уравнениям механического состояния

(4.38)

соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (4.9)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (4.12)]; при ползучести среды [см. формулу (4.26)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты и , в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов (см. разд. 4.2).

Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]

(4.39)

и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций .

В уравнениях (4.37) – (4.39) использована декартова система координат и следующие введенные ранее обозначения: - проекции массовых сил и ускорения; - плотность тела; - модуль сдвига; - коэффициент Ламе; - модуль объемного сжатия; Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; и - модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. раздел 1.3); - компоненты девиатора деформации; - объемная деформация; - компоненты девиатора скорости деформации; - символ Кронекера:

где - скорость объемной деформации; и - компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения и скорости соотношениями Коши:

(4.40)

При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (4.38), изменится. В разд. 1.3 и 1.4 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.

Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (4.37) – (4.39) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.

Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения , то граничные условия записываются в виде (см. разд. 1.4)

(4.41)

где - нормаль к поверхности S; - проекции вектора на оси выбранной системы координат; М – точка поверхности; t – время.

В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.

Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения (или скорости )

(4.42)

то говорят о второй граничной задаче, где - известные функции точек поверхности и времени.

В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (4.41), а на другой – вида (4.42), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.

Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).

Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции . Для этого достаточно подставить формулы (4.38) и (4.40) в уравнения (4.37) и граничные условия (4.41). полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения . В этом случае надобность в уравнениях (4.39) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.

Если первая граничная задача решается в напряжениях , то эти функции, кроме уравнений (4.37), должны удовлетворять и системе уравнений (4.39), в которой необходимо (или ) выразить через с помощью формул (4.38).

Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (4.38). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.

Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.

4.5 §3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ СРЕД «ПОРОДА-КРЕПЬ»

Осложнения, связанные с разрушением горных пород в процессе бурения скважины на первоначальном этапе предупреждают подбором свойств бурового раствора, а затем создается крепь скважины из обсадных колонн и цементных оболочек, основная функция которых – изоляция и разобщение пластов.

Величина внешнего воздействия на крепь не всегда известна, однако вопросы прочности и долговечности необходимо решать в период строительства скважины.

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние системы горная порода – крепь, где основное значение имеет давление р_к на поверхности контакта горной породы и цементной оболочки, отсутствующее на начальной стадии строительства скважины, а затем появляющееся и развивающееся как функция времени.

Возникновение и развитие давления на крепь скважины р_к возможно при ползучести и текучести люлинворских глин вследствие их начального напряженного состояния.

Давление р_к зависит от времени, жесткости С крепи скважины и от реологических свойств горных пород.

Рассмотрим модель вязкопластичной изотропной горной породы, решать которую будем при следующих допущениях:

1. Начальное напряженное состояние определяем гравитационной силой , поровым давлением р_п(z) и условием нулевого смещения в горизонтальной плоскости т.е. следующими эффективными напряжениями

(4.5)

где - средняя плотность вышележащих горных пород, z – глубина расчетного участка, - коэффициент бокового горного давления;

2. Горная порода – это однородное изотропное упругое, упругопластичное или вязкопластичное твердое тело типа глин и солей;

3. Скважина – это круглая вертикальная цилиндрическая полость в корном массиве, заполненная буровым раствором пластичностью r_с;

4. Силы инерции rа_i очень малы, т.е. горные породы находятся в стационарном состоянии.

В результате приведенных допущений напряженно-деформированное состояние приствольной зоны скважины характеризуется осевой симметрией и равенством нулю напряжений и деформаций сдвига ().

Нормальные напряжения и перемещения представим для цилиндрической системы координат:

(4.6)

где - дополнительное эффективное напряжение и - дополнительное радиальное перемещение.

В формуле (4.6) принято, что дополнительное осевое перемещение , т.е.

. (4.7)

Поэтому относительно дополнительных величин , и

, (4.8)

имеем задачу о плоской деформации.

Напряжения должны удовлетворять следующим условиям равновесия см. формулу (2.9)

(4.9)

Согласно условию 3 и формулам (4.5)-(4.7) – граничным условиям

(4.10)

где - радиус скважины.

Выбор механического уравнения состояния (3.94) зависит от основной деформационной характеристики данной горной породы:

Если деформация ползучести породы мала (не выше 10% от мгновенной) и диаграмма кратковременного нагружения σ₁ ~ ε₁, имеет вид кривых 1, 2, 3, 5 или 4, 6 (см. рис 14) то выбирается модель упругого или упруго-пластичного тела. При деформации ползучести значительно превосходящей мгновенную (упругую или пластичную) деформацию, выбирается модель вязкого тела.

Приводим решения задач о напряженно-деформирован­ном состоянии приствольной зоны скважины, принимая для указанных трех типов деформирования простейшие модели. Кроме того, дана оценка устойчивости стенки скважины и определено допустимое давление в стволе скважины, используя различные критерии прочности горных пород.

1. Для упругой модели горной породы уравнения, связывающие искомые величины и имеют вид [см. формулы (3.94)]

,

или, согласно условию (4.7) и соотношениям (4.8)

,

, (4.11)

,

где дополнительная величина объемной деформации;

G = E/2(1+v) и λ = 2vG/(1-2V) —упругие константы Ламе.

Так как все напряжения выражаются через одну функцию , то решать задачу целесообразно в перемещении.

Подстановка (4.11) в (4.9) дает

.

Поэтому

.

Интегрируя, найдем общее решение

и следовательно, по формулам (4.11) – напряжения

,

,

.

Из граничных условий (4.10) следует

.

Поэтому

,

, .

После подстановки этих формул в (4.6) получим окончательно

,

, (4.12)

Видно, что напряжения σ_θθ принимает максимальное значение у стенки скважины (r = R_c). Здесь же максимальна и интенсивность напряжений

, (4.13)

где - приведенное давление в скважине. Величина среднего давления

. (4.14)

Легко заметить, что образование скважины приводит к изменению интенсивности напряжений горных пород, среднее давление при этом остается без изменения. Из решения (4.13) следует, что на­пряженное состояние породы у стенки скважины будет отличаться от напряженного состояния нетронутого массива только при q δ. При q = δ величина минимальна. Это означает, что при давлении в скважине обеспечиваются наилучшее условие для сохранения устойчивости стенки скважины. Но ис­ходить из такого требования при выборе, например, плотности бурового раствора не рационально, так как оно может привести к неоправданному перерасходу материалов.

Для кратковременной устойчивости стенки скважины восполь­зуемся критерием прочности (2.82). Подстановка формул (4.13) и (4.14) в этот критерий дает следующее необходимое условие устойчивости и прочности пород при r= R_c:

, (4.15)

где .

Нарушение левостороннего ограничения может привести к мгно­венному осыпанию породы, а правостороннего — к гидрораз­рыву пласта. Поэтому величина q = q_min (или, иначе, давле­ние в скважине p_c=p_п+q_minΔp_r) является минимально допу­стимой, а величина q = q_max или р_с=Р_п + q_maxΔp_r — максималь­но допустимой.

Формулу для расчета σ_*, можно упростить, если принять во внимание, что для большинства пород α = 8 —10 и . Поэтому, приняв α = 9 и , получим с некоторым запасом прочности

(4.16)

Допустимый диапазон изменения параметра q приведен ниже.

q	0,25	0,33	0,43	0,52	0,66	0,81
qmin.	-0,43	-0,46	-0,47	-0,5	-0,51	-0,51	-0,5
qmax	0,93	1,12	1,35	1,54	1,83	2,15	2,5

Видно, что нижняя граница q_min практически не зависит от коэффициента бокового горного давления и кратковременная устойчивость стенки скважины возможна при q = - 0,5 или р_с= р_п – 0,5р_r.

Если, например, глубина скважины Н = 3000 м, средняя плот­ность пород р_г = 2300 кг/м³, коэффициент аномальности порового давления k_а = 1,5, т.е. р_r = 69 МПа и р_п = 45 МПа, то получим p_с = 33 МПа. Следовательно, при промывке скважины плотность бурового раствора не должна быть ниже р_с = 1100 кг/м³.

Рост параметра q_max с увеличением коэффициента δ объясняется увеличением коэффициента Пуассона ν, т. е. более плотной упаковкой пород.

Для нормально и сильноуплотненных пород диапазон допусти­мого давления в скважине достаточно широк. Но этот диапазон сужается с увеличением коэффициента аномальности. Например, при δ = 0,25 (ν = 0,2) К_a=р_п/р_{г. с} = 2 и р_r/р_rс = 2,3, используя значе­ния q_min = -0,43 и q_max = 0,93, получим 1,87 р_с/p_r.с 2,28, где p_r.с — гидростатическое давление.

Этим объясняется сложность согласованного выбора плот­ности бурового раствора и режима промывки при бурении пород с аномально высоким поровым давлением. В таких условиях первостепенное значение приобретает точный выбор плотно­сти и реологии бурового раствора, компоновки инструмен­та и диаметра долота, режима промывки и СПО, обеспечи­вающих изменение давления рс в пределах допустимого диа­пазона. Подчеркнем, что допустимый диапазон изменения давления в скважине (4.53) является лишь необ­ходимым, но не достаточным, так как не учитывает время воздействия бурового раствора.

Для обеспечения устойчивости стенок скважины в течение заданного периода времени Т воспользуемся критерием длитель­ной прочности. Учитывая интенсивность напряжений (4.51) и начальное условие (4.53), получим

(4.17)

где .

Ниже показан характер сужения допустимого интервала во времени при δ = 0,5 и n = 2.

Т/t0		0,2	0,6		1,4
qmin	-0,5	-0,29	-0,1		0,06	0,12	0,18	0,24	0,32
qmax	1,5	1,29	1,1		0,94	0,88	0,82	0,76	0,68

Рис. 36. Диаграммы устойчивости глин Рис. 37. Диаграммы устойчивости

разной плотности по данным бурения нормально уплотненных пород скважин с использованием бурового по данным бурения скважин с

раствора, обработанного УЩР использованием двух типов

бурового раствора при обработке

1- УЩР в отложениях эоцена;

2- КСl в меловых отложениях

Видно, что рост периода времени Т сопровождается увеличением q_min и уменьшением q_max. Вначале это происходит достаточно интенсивно, а затем интенсивность значительно падает. При Т/t₀ >>1 влияние параметра σ_*, пренебрежимо мало. Характерно, что после определенного значения Т/t₀ минимально допустимая величина q 0, т. е. р_с р_п Применимость критерия устойчивости (4.17) была проверена по данным бурения Левкинской и Юбилей­ной площадей ПО «Краснодарнефтегаз».

На рис. 36 и 37 приведены диаграммы длительной устойчи­вости различных пород, которые позволили определить значения параметров долговечности. Для геологического разреза Лев­кинской площади получено: n = 3,5, A = 8,9 10^-10 при плотности глин p_r = 2.0 – 2.04 10³ кг/м³ и А = 3,3 10^-10 при p_r = 2.1 – 2.18-10³ кг/м³, где напряжения принимали в МПа, время — в с. Для разреза Юбилейной площади получено: n = 2, A = 10^-9 при использовании глинистого раствора, обработанного УЩР, и А = 4,5-10^-10—для раствора, обработанного КС1. Приведем при­мер использования полученных моделей.

Пусть требуется найти минимально допустимую плотность ингибированного бурового раствора для вскрытия меловых отложений в интервале 3200—4000 м, если средняя плотность вышележащих пород р = 2500 кг/м³, δ= 0,5 и технологи­чески необходимое время от вскрытия до крепления интервала составляет Т= 6,4*10⁵с

Согласно (4.17) минимально допустимая плотность бурового раствора опреде­ляется по формуле

где k_а— коэффициент аномальности, Принимая во внимание опреде­ленные выше параметры А = 4,5 10^-10 и n = 2 для нормально уплотненной породы k_a = 1, найдем

и, так как Т/t₀ = 2, по вышеприведенной таблице находим q_min = 0,12 Поэтому

min p_c=1180 кг/м³

Если предположить, что с ростом коэффициента аномальности параметры А и n не изменяются, то при k_a=1,2, 1,4 и 1,6 получим соответственно

min p_с=1400, 1600 и 1800 кг/м³

2. Для упругопластичной модели примем как в задаче 1, справедливыми соотношения

(4.18)

где с – постоянная, подлежащая определению. Тогда компоненты деформаций будут

а интенсивность деформаций сдвига [см. формулу (1.21)]

Согласно деформационной теории пластичности уравнения состояния () в этом случае принимают вид

где - новая переменная; g(x) определяется по деформационной кривой

…….

3. Для вязкопластичной модели горной породы решение задачи не будет принципиально отличаться от упругопластичной, если исходить из теории старения или установившейся ползучести…….

§ 4. ПОРОДА - ДЕФОРМИРУЕМОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО

Получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения , тензоров деформаций и напряжения в любой точке области D, занятой телом, и в любой момент времени.

В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.

Трем уравнениям движения [см. формулу (1.45)]

. (4.37)

Шести уравнениям механического состояния

(4.38)

Дата добавления: 2015-12-07