Формула Дюпюи и ее обобщения

Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.

1. Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:

а) однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью ограничен непроницаемыми плоскостями и (кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями (стенка скважины), (поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия

(3.55)

б) поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости ;

в) фильтрация происходит при жестком или установившемся ламинарном режиме.

Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде

(3.56)

(3.57)

Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа

Общим решением этого уравнения является функция

(3.58)

где и – постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями (3.55).

В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):

(3.59)

(3.60)

где – заданный перепад давления между скважиной и пластом.

При поглощении проявлении пласта объемный расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность , в том числе и через стенку скважины,

(3.61)

где ; – соответственно коэффициент гидропроводности, или просто гидропроводность, и коэффициент продуктивности, или просто продуктивность пласта; размерность м³/Па^.с.

Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.

2. Используя формулу (3.61) в решении (3.59), непосредственно решается вторая основная граничная задача [см. условие (2.37)], когда у стенки скважины заданы скорость фильтрации и расход жидкости . Распределение давления в этом случае описывается формулой

(3.62)

Важно подчеркнуть, что это решение совпадает с фундаментальным решением двумерного уравнения Лапласа (2.34), когда в плоскости действуют источник или сток интенсивности .

Следовательно, влияние работы скважины на изменение давления в пласте аналогично работе источника (или стока). Этот результат часто используется как простой метод решения сложных задач фильтрации в прискважинной области. Далее мы неоднократно будем пользоваться этим методом.

3. В реальной ситуации благодаря наличию глинистой корки, зон кольматации, загрязнения, искусственной трещиноватости (при гидроразрыве) и т. д. проницаемость произвольной зоны скважины может сильно отличаться от проницаемости остальной части пласта. Учесть влияние этой неоднородности можно двумя способами.

Первый способ заключается в замене граничного условия условием вида (2.38)

,

(3.63)

где - безразмерный параметр, характеризующий степень роста поверхностного сопротивления при (глинистая корка, кольматации, загрязнение и т. д.) или его снижение при (декольматации, поверхностные трещины, установлен фильтр высокой проницаемости); при граничное условие (3.63) совпадает с первым условием (3.39).

Используя общее решение (3.58), граничное условие (3.63) и условие без труда найдем, что решение этой задачи также имеет вид (3.58) – (3.61), необходимо только заменить истинный радиус скважины приведенным:

.

(3.64)

В частности, формула Дюпюи (3.61) принимает следующий обобщенный вид:

,

(3.65)

где - приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности пласта;

НРМ-6-04

.

(3.66)

Как будет показано ниже, к формуле (3.65) сводятся решения разных граничных задач фильтрации.

Параметр ОП дает количественную оценку снижения (при C>0) или увеличения (при S<0) гидропроводности и продуктивности пласта вследствие кольматации или декольматации приствольной части пласта. Поэтому он используется в настоящее время как основной показатель качества вскрытия продуктивных пластов, освоения и заканчивания скважин.

Для определения показателя ОП необходимо, как следует из формул (3.49) и (3.50), найти параметры или параметр S при известном отношении .

Приведенная (или фактическая) гидропроводность пласта устанавливается по индикаторной диаграмме (ИД) – зависимости , получаемой при исследовании скважины методом установившихся отборов. Истинная (или потенциальная) гидропроводность пласта определяется обычно по кривой восстановления давления (КВД) – зависимости , получаемой при исследовании скважины на неустановившемся режиме фильтрации. По КВД при дополнительных сведениях о пласте находят параметр S.

Второй способ решения данной задачи заключается в рассмотрении плоско-радиальной фильтрации для составной области, состоящей из приствольной зоны , постоянной или переменной по проницаемостью , и удаленной части пласта с проницаемостью .

Если принять , то для каждой из однородных областей имеем решение вида (3.42)

(3.67)

где константы определяются из 4-х граничных условий

(3.68)

В результате простых вычислений получим следующее решение задачи [сравн. с формулой (3.62)]:

(3.69)

где - расход, определяемый по формуле

;

- гидропроводности приствольной и удаленной частей пласта; - приведенный радиус скважины:

.

(3.70)

Сравнивая правые части (3.64) и (3.70), получим известную формулу для вычисления показателя «скин-эффекта»

.

(3.71)

Отсюда и из формулы (3.66) следует:

Так как очень близкие величины, то понятно, что увеличение проницаемости приствольной зоны оказывает слабое влияние на гидропроводность пласта. В то же время уменьшение проницаемости приствольной зоны может оказать существенное влияние на снижение гидропроводности пласта. Например, при и получим и , т. е. гидропроводность пласта уменьшится в 2 раза. Но при , что соответствует увеличению диаметра скважины в 2 раза, имеем , т. е. гидропроводность пласта увеличится всего на 12%.

4. В том случае, когда приствольная зона скважины представляет собой область непрерывного изменения проницаемости , уравнение неразрывности (3.57) видоизменится:

.

(3.72)

Для удаленной части пласта распределение давления соответствует решению (3.51), а для приствольной зоны путем интегрирования (3.56) находим

.

(3.73)

Примем закономерность изменения проницаемости в области в виде

,

где – проницаемость удаленной части пласта, т. е. при

– проницаемость стенки скважины .
После подстановки в (3.73),интегрирования и определения постоянных из граничных условий (3.68) получим следующее решение задачи:

где , а расход вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.65), в которой приведенный радиус скважины надо принять

.

Используя сходство этой формулы с формулой (3.70), легко найти
параметр , исходя непосредственно из формулы (3.71):

Пусть, например, при бурении проницаемого интервала
на стенке скважины сформирована глинистая корка проницаемостью , т. е. и . Принимая и , получим

и ,
т. е. поглощение фильтрата бурового раствора уменьшится более чем в 2 раза.

5. Если пласт содержит упорядоченную систему трещин, то в нем благодаря анизотропии проницаемости плоско-радиальный характер фильтрации не будет иметь место (см. разд. 2).

Рассмотрим случай, когда одно из главных направлений анизотропии Ox₃ совпадает с направлением оси скважины Oz (например, упорядоченная система вертикальных трещин в вертикальной скважине). Тогда два других главных направления анизотропии Ох₁ и Ох₂ расположены в плоскости , т. е. параллельно кровле и подошве пласта. При заданных однородных граничных условиях в скважине и на поверхности питания (3.55) фильтрация будет плоской, так как , но не радиальной. В плоскости х₁х₂ имеют место обобщенный закон Дарси [см. формулу (2.40)]

,

и соответствующее ему уравнение неразрывности [см. формулу (2.42)]

.

(3.74)

Как было сказано в разд. 2, введением новой системы координат

(3.75)

уравнение (3.74),заданное в анизотропной плоскости х₁х₂, преобразуется в уравнение Лапласа

.

(3.76)

для изотропной плоскости , проницаемость которой

Принимая скважину в качестве источника (или стока) интенсивностью , получим, аналогично (3.62), поле давления

.

(3.77)

где , – радиус контура питания в плоскости . Отсюда следует, что эквипотенциальной поверхностью являются: окружность в плоскости и эллипс в плоскости х₁х₂, где – полуоси эллипса.

Это означает, что контуром питания (где ) в анизотропном пласте может быть только эллипс

(3.78)

Согласно (3.59) этому эллипсу в плоскости соответствует окружность . В то же время окружность преобразуется в эллипс

(3.79)

Поэтому в строгой постановке первая основная граничная задача формулируется так: найти решение уравнения (3.76), удовлетворяющее условию в точках эллипса (3.79) и условию на окружности .

Однако для определения расхода ‚ достаточно хорошее приближение получается, если эллипс (3.79) заменить эквивалентной окружностью радиуса

.

(3.80)

Используя в (3.61) условие при получим

.

(3.81)

Если истинный эллиптический контур питания (3.78) заменить условным – окружностью радиуса

(3.82)

то, выразив через и подставив полученное выражение и соотношение (3.80) в (3.81) придем к обычной формуле Дюпюи (3.65), в которой , а приведенный радиус скважины, приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности надо принять равными:

(3.83)

где

.

(3.84)

Отсюда следует, что при прочих равных условиях в анизотропном пласте расход жидкости выше, чем в изотропном пласте эквивалентной гидропроводности .

В нижеследующей таблице приведены значения при нескольких параметрах анизотропии и .

				10^2	10^3	10^4
	1,03	1,05	1,15	1,21	1,50	2,05

Видно, что влияние анизотропии заметно при больших отношениях .

6. Если после вскрытия пласта проницаемости и в приствольной зоне скважины изменились и стали равными и то возникает задача об определении расхода в неоднородном анизотропном пласте. Приближенное решение этой задачи может быть без труда найдено при следующих условиях:

главные направления проницаемостей в приствольной зоне и удаленной части пласта совпадают;

границей раздела областями является эллипс

(3.85)

где – радиус границы раздела в преобразованной плоскости .

Обозначим давление на общей границе через и рассмотрим каждую из областей независимо друг от друга.

Так как подобным эллипсам (3.78) и (3.85) в плоскости соответствуют концентрические окружности и , то для удаленной части пласта имеем [см. формулу (3.81)]

,

(3.86)

где –приведенная гидропроводность удаленной части пласта. Рассматривая приствольную зону скважины, замечаем, что здесь преобразование системы координат х₁х₂ в осуществляется с помощью другого параметра анизотропии ,т. е.

Следовательно, границы этой области: эллипс (3.69) и окружность преобразуются в эллипсы с соответствующими полуосями

Заменив эти эллипсы эквивалентными окружностями, радиусы которых равны

(3.87)

получим приближенную формулу для расхода жидкости

,

(3.88)

где – приведенная гидропроводность призабойной части пласта.

Определив из равенства правых частей (3.86) и (3.88), после преобразования получим следующую обобщенную формулу Дюпюи:

,

(3.89)

где

.

Видно, что при и имеем , т. е. влияние анизотропии исчезает, если призабойная зона скважины в результате кольматации приобрела свойства изотропной среды. Аналогичный результат имеет место при и , что возможно, например, при гидроразрыве изотропного пласта. Отсюда следует вывод гидроразрыв гранулярного коллектора в ПЗ не может привести к заметному росту продуктивности скважины. Его положительная роль сводится к разрушению зоны кольматации и тем самым восстановлению потенциальной продуктивности пласта. Только при гидроразрыве анизотропного пласта, когда , продуктивность скважины может быть увеличена.

7. Фильтрация, отличная от плоско-радиальной, возникает и в том случае, когда пласт вскрыт не на всю мощность, а частично или часть пласта перекрыта обсадной колонной, или связь пластовой и скважинной жидкостей осуществляется через перфорационные отверстия в колонне.

В этих случаях говорят о несовершенном вскрытии пласта и задают граничное условие лишь на открытой части поверхности , а на остальной условие непроницаемости . Течение жидкости в таких условиях вблизи скважины пространственно, и, естественно, решение задачи фильтрации усложняется.

Известны различные приближенные аналитические решения этих задач и экспериментальные исследования на моделях, учитывающие тот или иной вид несовершенства вскрытия пласта.

Общий вывод, который следует из полученных решений, сводится к тому, что расход жидкости и в этих случаях вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.49), где приведенный радиус скважины

,

(3.90)

здесь – показатель фильтрационного сопротивления, связанный с несовершенством вскрытия пласта.

Отношение расхода жидкости при несовершенном вскрытии к расходу при совершенном вскрытии пласта в тех же условиях определяют аналогично параметру ОП [см. формулу (3.66)]:

.

(3.50)

(3.91)

В общем случае где и – показатели сопротивления, обусловленные несовершенством по степени и характеру вскрытия пласта. Для случая вскрытия части пласта Маскет, используя метод источников, нашел, что при показатель несовершенства по степени вскрытия можно определить по формуле

.

(3.50)

Здесь ,
где – гамма-функция (известная, табулированная функция); .

Представление о функции и показателе дает табл. 3.

Таблица 3

0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2
0,43	0,84	1,38	2,04	2,93	4,33	7,1	13,11
	0,16	0,47	0,91	1,52	2,35	2,62	5,35	8,1
	0,24	0,65	1,21	1,98	3,04	3,65	6,87	10,87
	0,41	1,05	1,89	3,05	4,66	6,07	10,63	17,39
	0,49	1,22	2,19	3,52	5,35	7,11	12,24	20,08

Например, при R_c = 0,1 м, h = 20 м, h₁ = 10 м, согласно таблице при h / R_c =200 и h₁ =0,5, получим С₁= З,35, что при соответствует коэффициенту сопротивления КС = 0,65.

Существенное значение в этой задаче могут иметь различные проницаемости вдоль пласта и в направлении, перпендикулярном к пласту , т. е. анизотропия проницаемости. Доказано, что учесть этот фактор можно, если заменить истинную мощность пласта приведенной .

Если, например, , то по данным предыдущего примера имеем , и, согласно формулам, и .

Несовершенство по характеру вскрытия имеет место, когда связь со скважиной осуществляется через круглые или щелевые отверстия в обсадной колонне. В этом случае показатель несовершенства может быть вычислен по следующим приближенным формулам:

(3.50)

где – открытая часть поверхности колонны; – диаметры перфорационных отверстий и скважины; т — число рядов щелей.

Рис. 3.5 Схема призабойной зоны скважины с искусственным фильтром

Рис. 3.6 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от величины дополнительной зоны фильтрации при h / Re = 15: 1 2, 3 соответственно при R_ф / R_c = 8; 5; 3

Рис. 3.7Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от мощности пласта и радиуса фильтра при l / R_ф = 2: 1, 2, 3 соответственно

при R_ф / R_c = 8; 5; 3

Приведем решение задачи, когда приствольная зона скважины оборудована искусственным фильтром (2)высотой и проницаемостью , отличной от проницаемости пласта (1)(рис. 3.5).

Приведенный радиус в этом случае

,

(3.92)

где – параметр «скин-эффекта» [см. формулу (3.71)]; показатель снижения сопротивления, обусловленный наличием дополнительной зоны ; – функция безразмерных параметров , , .

На рис.3.6 показаны графики зависимости от при трех значениях отношения и . Из него следует, что с увеличением функция быстро растет до асимптотического значения, которое наступает при . Это доказывает нецелесообразность установки фильтра высотой больше чем .

Влияние мощности пласта на иллюстрируется графиками на рис.3.7 при тех же значениях и .

Лекция 4. Среды, применяемые и встречающиеся при бурении нефтяных и газовых скважин

§1. СРЕДЫ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Дата добавления: 2015-12-07