Читайте также:
|
|
1. Комплексні функції кіл та їхній зв’язок з параметрами ЕК.
2. Частотні характеристики кіл, їх властивості та розрахунок.
1. Як уже відомо, комплексний метод аналізу КЗС полягає у поданні часових синусоїдних функцій через експоненційні функції уявної частоти :
Застосування функції дозволяє ввести поняття комплексної функції (КФ) кола. Це поняття служить для опису лінійних кіл, які не містять у собі незалежних джерел енергії.
Сигнал на виході лінійного кола і сигнал на його вході зв’язані лінійним диференційним рівнянням виду:
, (7.1)
де - дійсні коефіцієнти, які залежать лише від параметрів кола і його схеми.
Застосуємо до рівняння (7.1) комплексний метод. Здійснивши перехід із дійсної, часової області оригіналів до комплексної площини зображень для вхідної і вихідної синусоїдних величин:
,
і урахувавши, що операція диференціювання у часовій області заміняється у комплексній області множення на , одержимо наступне рівняння:
(7.2)
Комплексною функцією кола називається відношення комплексних зображень реакції кола і його вхідної дії:
(7.3)
Порядок ЕК і його КФ визначається найвищим степенем при у знаменнику виразу (7.3) – поліномі .
КФ дозволяє легко знайти зображення вихідного сигналу, якщо відоме зображення вхідного сигналу:
(7.4)
Нехай ЕК представлено у вигляді пасивного чотириполюсника рис. 7.1. Таке подання уможливлює проведення класифікації комплексних функцій кола. На вхідних затискачах 1-1’ діють напруги і струм . На затискачах 2-2’ окремо виділеного елемента схеми діють напруга і струм .
Рисунок 7.1
Комплексні функції кола можуть бути вхідними і передаточними.
Вхідна функція – це відношення зображень струму і напруги, які діють на вхідних затискачах. До таких функцій належить вхідний опір і вхідна провідність.
(7.5)
Передаточна функція – це відношення зображень струмів і напруг, які діють на різних парах затискачів. До таких функцій належать: комплексні передаточні функції, або коефіцієнти передачі за напругою і струмом:
; (7.6)
Передаточні опори:
; (7.7)
Передаточні провідності:
(7.8)
Розглянемо зв’язок КФ кола з його параметрами детальніше. Нехай дано схему ЕК рис. 7.2. На ній - реальні джерела вхідного сигналу. На вході ЕК діють напруга і струм , а на виході, тобто на будь-якому елементі – напруга і струм .
Рисунок 7.2
Знайдемо відношення між цими напругами та струмами, скориставшись методом контурних струмів. Вважаючи k-й і l-й контури зовнішніми, запишемо систему рівнянь за МКС:
(7.9)
де - контурні опори, - сума опорів елементів k-го контуру без урахування внутрішнього опору джерела - контурний опір k-го контуру; - контурні струми. Із системи рівнянь (7.9) виключені параметри джерела сигналу.
Розв’язок системи відносно вихідного струму (див. лекцію 3):
, (7.10)
де Δ – детермінант системи (7.9); Δkl – алгебраїчне доповнення елемента .
Аналогічно одержимо розв’язок відносно струму на виході:
(7.11)
Вхідні і передаточні функції ЕК рис. 7.2 знаходимо з урахуванням формул (7.10) і (7.11):
Вхідна провідність:
; (7.12)
Передаточні провідність і опір:
; ; (7.13)
Коефіцієнт передачі за напругою і струмом:
(7.14)
Детермінанти - являють собою суму добутків контурних опорів, наприклад:
Будь-який контурний опір у загальному випадку є раціональною функцією уявної частоті :
і тому детермінанти є раціональними функціями, а відтак усі перераховані КФ (7.12) – (7.14) є раціональними функціями змінної і можуть бути подані у вигляді раціонального дробу (7.3) з дійсними коефіцієнтами. Важливими є те, що всі коефіцієнти чисельника і знаменника цього дробу є величинами дійсними, оскільки вони залежать лише від схеми ЕК і визначаються його параметрами
Таким чином, КФ кола (вхідні і передаточні) не залежать від вибору визначальних величин (контурних струмів, вузлових потенціалів) або вибору незалежних контурів і вузлів. Вони однозначно визначаються виключно схемою кола і його параметрами Інакше кажучи, схема і параметри кола зумовлюють той чи інший характер частотної залежності КФ, яка породжена присутністю реактивних елементів у колі.
2. Частотні характеристики ЕК є компонентами комплексних функцій. Нехай маємо КФ кола:
(7.15)
Тут функція
(7.16)
Модуль КФ, який називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) кола. Величина - це відношення амплітуди вихідного сигналу до амплітуди вхідного сигналу.
Функція
(7.17)
визначає зсув за фазою реакції кола відносно вхідної дії і називається фазочастотною характеристикою (ФЧХ) кола.
Функція
(7.18)
це дійсна частина КФ кола і називається дійсною частотною характеристикою (ДЧХ) кола.
Функція
(7.19)
це уявна частина КФ кола і називається уявною частотною характеристикою (УЧХ) кола.
Частотні характеристики описують властивості ЕК при дії на них синусоїдних сигналів. Вони можуть легко бути виміряні в експериментальний спосіб. За їх допомогою можна визначити реакцію кола на задану дію будь-якої частоти, а також аналізувати важливі особливості застосування кола. Так, АЧХ, зображена на рис. 7.3, характеризую ЕК, яке має властивості пропускати сигнали тільки в діапазоні частот від до . Таке коло може бути застосоване як смуговій фільтр. Ця АЧХ дозволяє оцінити такі якісні показники кола, як рівномірність характеристики у межах смуги пропускання (діапазон частот від до ), затухання поза смугою пропускання (частоти менші за та більші за ), крутизну характеристики на межах смуги пропускання. До того ж можна кількісно визначити граничні частоти , , смугу пропускання тощо.
Рисунок 7.3
Розглянемо деякі приклади визначення частотних характеристик ЕК:
1. Фільтр верхніх частот (рис. 7.4) КФ RC кола:
(7.20)
Уведемо позначення , яке називається стала часу кола. Одержимо:
- АЧХ RC кола.
- ФЧХ RC кола.
АЧХ і ФЧХ показані на рис. 7.4 б. Якщо КФ подати у алгебраїчній формі
,
то отримаємо ДЧХ і УЧХ (рис. 7.4 в):
Рисунок 7.4
2. Фільтр нижніх частот (рис. 7.5)
(7.21)
– АЧХ
- ФЧХ
АЧХ і ФЧХ показані на рис. 7.5 б.
- ДЧХ
- УЧХ.
ДЧХ і УЧХ показані на рис. 7.5 в.
Окрім rC - кіл, існують ще й rL - кола, які виконують такі ж самі функції щодо обробки сигналів. Ці кола показані на рис. 7.6 а,б.
Оцінимо їх КФ. Для схеми рис. 7.6 а:
де - стала часу кола.
Для схеми рис. 7.6 б:
Рисунок 7.5
Рисунок 7.6
Отримані вирази комплексних функцій rL – кіл рис. 7.6 свідчить про те, що частотні характеристики rL – кіл збігаються з частотними характеристиками rС – кіл, причому схема рис. 7.6 а є фільтром верхніх частот, дуальним до схеми рис. 7.5 а, а схема рис. 7.6 б є фільтром нижніх частот, дуальним до фільтру рис. 7.5 б.
Розглянуті приклади підтверджують теоретичні положення про властивості комплексних функцій ЕК. Ці властивості наступні:
1. – властивість спряженої симетрії;
2. – властивість парності ДЧХ;
3. – властивість непарності УЧХ;
4. – парність АЧХ;
5. – непарність ФЧХ.
Лекція 8
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 526 | Нарушение авторских прав