Класифікація інструментарію для дослідження

Найважливішим етапом всякого операційного дослідження є формалізація постановки задачі, тобто розробка математичної моделі операційної завдання. Під моделлю розуміють певний матеріальний або абстрактний об'єкт, що знаходиться в певному об'єктивному відповідно з досліджуваним об'єктом, що несе про нього певну інформацію і здатний заміщати його на певних етапах пізнання. Головною властивістю моделі є те, що вона несе певну інформацію про досліджуваний об'єкт.

За ступенем відповідності оригіналу моделі діляться на ізоморфні і гомоморфні. Ізоморфні моделі знаходяться в строгій відповідності з оригіналом і дають про нього вичерпну інформацію. Очевидно, ізоморфні моделі існують тільки для простих систем, зокрема механічних. Для складних систем виявляється можливим побудувати модель тільки після спрощують припущень. Такі моделі, що відображають лише деякі певні властивості оригіналу, називаються гомоморфності.

Зокрема, більшість операційних моделей організаційних систем відноситься до числа гомоморфності. Їх отримують шляхом свідомого огрубіння досліджуваного процесу, значного скорочення числа факторів, відбору серед них найбільш суттєвих. Тим самим, модель виявляється значно простіше об'єкта, завдяки чому встановиться можливим її дослідження й аналіз.

Класифікація моделей багатоаспектна. Зокрема, моделі розрізняються за ступенем відповідності оригіналу, за принципом моделювання, призначенню тощо. За ступенем відповідності об'єкта і моделі останні поділяються на ізоморфні і гомоморфні.

За основним принципом моделювання моделі поділяються на: фізичні (моделі геометричного подібності); аналогові; символічні; моделі на універсальних ЕОМ. Фізичні моделі мають ту ж фізичну природу, що досліджуваний об'єкт, але відрізняються від нього розмірами, формою та іншими характеристиками. Створення фізичних моделей засновано на теорії подібності. Типовим прикладом такої моделі є аеродинамічна труба. Тут властивості літального апарату в польоті відпрацьовуються на моделі тієї ж фізичної природи. Інший приклад фізичної моделі: діюча модель транспортних засобів (наприклад, всюдихід, планер і так далі).

В аналогових моделях набір одних властивостей використовується для відображення властивостей іншої фізичної природи. Найбільш поширеними моделями такого типу є електричні аналоги, з допомогою яких вдається змоделювати механічні, гідравлічні, транспортні, економічні та інші системи.

Символічні моделі - це абстрактні моделі, в яких використовується мова математики. Символічні моделі задач дослідження операцій зазвичай мають вигляд:

знайти max f(x),

за умови {g_i (x) ≤ b_i; i = ; x≥0}.

Символічні моделі найбільш зручні для дослідження та кількісного аналізу. Вони дозволяють не тільки отримати рішення для конкретного випадку (завдання), а й (що надзвичайно важливо) визначити вплив параметрів системи на результат рішення.

Отже, символічна модель – це абстрактно-математична модель об'єкта, задана у вигляді формул, функцій або функціональних відображень, рівнянь та інших математичних співвідношень. Символічні моделі носять універсальний характер.

Моделювання на ЕОМ є найбільш потужним засобом моделювання складних систем довільної фізичної природи. Для застосування цього методу необхідно отримати спочатку символічну модель. Якщо аналітичні рішення на моделі отримати неможливо або потрібно провести глибоке дослідження впливу варійованих параметрів на характеристики моделі, вдаються до моделювання на ЕОМ. Моделювання на ЕОМ є основним засобом моделювання в дослідженні операцій.

В залежності від необхідності обліку статистичних факторів моделі поділяються на детерміновані, де всі параметри і впливу передбачаються причинно обумовленими, і стохастичні, в яких важливу роль відіграють випадкові змінні. За властивостями в перехідному режимі моделі прийнято ділити на статичні і динамічні. У динамічних моделях розглядаються характеристики і взаємодії системи, мінливі в часі, на відміну від статичних систем, в яких ці параметри не залежать від часу. Нарешті, в залежності від того, чи містять моделі керовані фактори або не містять, вони діляться на конструктивні і дескриптивні, або описові. Описові моделі не включають керованих змінних і тому не дозволяють вирішувати задачу про знаходження найбільш ефективного управління.

Конструктивні моделі включають керовані змінні і тому в принципі служать основним цілям дослідження операцій – відшукання найбільш ефективного управління організаційною системою.

Описова модель зазвичай грає допоміжну роль і найчастіше передує створенню конструктивної моделі на першому етапі формулювання завдання.

Якість розроблюваних моделей значною мірою визначається досвідом, інтуїцією, а також творчими здібностями операціоніста. Неможливо дати готові рецепти, як будувати математичну модель в тій чи іншій конкретній ситуації.

Проте аналіз накопиченого операціоністами досвіду дозволяє виявити раціональні принципи, які полегшують і раціоналізують процес побудови моделей. Використання того чи іншого принципу визначається як ступенем розуміння структури досліджуваної системи, так і можливістю проникнення в її внутрішній механізм.

Нижче будуть розглянуті деякі принципи побудови моделей. Зрозуміло, що ними не вичерпуються всі відомі принципи розробки моделей.

Принцип 1. Вивчення та аналіз причинно-наслідкових зв'язків. Цей інтуїтивно зрозумілий принцип використовується завжди, коли структура системи досить проста і може бути розкрита шляхом безпосереднього обстеження системи та опитування осіб, залучених до її функціонування.

Принцип 2. Використання аналогії. У ситуаціях, коли структура системи (завдання) досить очевидна, але метод її математичного опису неясний, можна скористатися її схожістю з системою, що має більш просту структуру або більш вивченою. У цих випадках можна скористатися або більш простий аналогічною системою або (що набагато зручніше) її математичною моделлю.

Принцип 3. Проведення експериментів для виявлення істотних змінних. У тих випадках, коли аналіз даних не дозволяє визначити вплив окремих змінних на показники роботи системи, виникає необхідність провести експерименти з метою виявлення істотних змінних і їх впливу на ці показники. Таким чином, відмітною особливістю цього принципу є використання експерименту.

У самому загальному випадку математична модель задачі має вигляд:

знайти max E = f (x, y) при обмеженнях g_i (x, y) ≤ b_i, i = , де E = f (x, y) – цільова функція (показник якості або ефективність) системи; х – вектор керованих змінних; у – вектор некерованих змінних; g_i – функція споживання i-ro ресурсу; b_i – величина i-го ресурсу (наприклад, плановий фонд машинного часу групи токарних автоматів в станко-годинах).[17]

2.1.1. Математичне програмування. Загальна задача математичного програмування формулюється таким чином: знайти оптимум функції y(х), визначеної на області припустимих рішень Ω ⊂ Rⁿ, де Ω формується системою рівностей і нерівностей із накладенням на змінні задачі двосторонньої обмеженості.

Для знаходження оптимального рішення задачі в залежності від виду та структури цільової функції і обмежень використовують ті чи інші методи теорії оптимальних рішень (методи математичного програмування).

1. Лінійне програмування, якщо f (х, у), – лінійні відносно змінних х.

2. Нелінійне програмування, якщо f (х, у) або g_i (х, у) – нелінійні відносно змінних х.

3. Динамічне програмування, якщо цільова функція f (х, у) має спеціальну структуру, будучи адитивної або мультиплікативної функцією від змінних х.

4. Геометричне програмування, якщо цільова функція f (х) і обмеження g_k (х) являють собою так звані функції-позіноми

5. Стохастическое програмування, коли вектор некерованих змінних у випадковий.

6. Дискретне програмування, якщо на змінні x_j накладено умова дискретності (наприклад целочисленности): х_j – ціле, j = ≤ n.

7. Евристичне програмування застосовують для вирішення тих задач, в яких точний оптимум знайти алгоритмічним шляхом неможливо через величезного числа варіантів. У такому випадку відмовляються від пошуку оптимального рішення і відшукують досить гарне (або задовільний з точки зору практики) рішення. При цьому користуються спеціальними прийомами - евристиками, що дозволяють істотно скоротити число переглядаються варіантів. Евристичні методи також застосовують, коли оптимальне рішення в принципі може бути знайдено (т. Е. Завдання алгоритмічно вирішувана), проте для цього потрібні обсяги ресурсів, значно перевищують готівку.

З перерахованих вище методів математичного програмування найбільш розвиненим і закінченим є лінійне програмування. У його рамки вкладається широке коло завдань дослідження операцій.[17,18]

2.1.2. Імітаційне моделювання. У випадках, коли необхідно провести дослідження складних систем організаційного управління, для яких відсутні аналітичні моделі (методи опису), традиційні засоби моделювання виявляються безсилими. У цьому випадку вдаються до так званого «імітаційного моделювання».

Імітаційне моделювання (від латинського «імітація» - наслідування, копіювання) означає процес імітування поведінки системи на моделі з метою отримання інформації про неї.

Згідно Шеннону імітаційне моделювання є «процес конструювання моделі реальної системи і постановки експериментів на ній з метою розуміння поведінки системи або оцінки (в рамках обмежень, що накладаються деяким критерієм або сукупністю критеріїв) різних стратегій, що забезпечують функціонування даної системи».

Хоча імітаційне моделювання було відомо до виникнення ЕОМ., Проте тільки з розвитком обчислювальної техніки воно стало універсальним і потужним інструментом дослідження систем.

Завдяки великому швидкодії сучасних ЕОМ виявляється можливим за порівняно короткий час «програти» поведінку складної системи на моделі і виконати аналіз її функціонування.

У досить складних системах організаційного управління завжди є деякі випадкові або невизначені фактори, що впливають на систему і викликають флуктуації характеристик її поведінки.

Якщо цими коливаннями можна знехтувати, то розробляється детермінована модель. Якщо ж випадкові фактори відіграють істотну роль у функціонуванні системи, то виникає необхідність у створенні статистичних моделей. Термін «імітаційне моделювання» є більш широким, ніж «статистичне моделювання», і включає в себе статистичні моделі як складову

і невід'ємну частину.[17,19]

Імітаційне моделювання (ІМ) використовується для наступних

цілей:

а) опису поведінки систем;

б) побудови теорій і гіпотез, які можуть пояснити бачимо поведінку;

в) передбачення майбутнього поведінки системи.

Відзначимо умови, за яких може виявитися доцільним використання імітаційного моделювання:

1) не існує закінченої математичної моделі даної задачі або ще не розроблені аналітичні методи рішення сформульованої математичної моделі, до цієї групи належать, наприклад, численні моделі масового обслуговування;

2) аналітичні методи є, але відповідні їм математичні процедури настільки складні і трудомісткі, що імітаційне моделювання дає більш простий спосіб вирішення задачі;

3) аналітичні рішення існують, але їх реалізація неможлива внаслідок недостатньої математичної підготовки наявного персоналу. У цьому випадку слід зіставити витрати на проектування, випробування і роботу моделі з витратами, пов'язаними з запрошенням фахівців з боку;

4) імітаційне моделювання може виявитися єдиною можливістю внаслідок неможливості постановки експериментальних спостережень в реальних умовах; відповідним прикладом може служити вивчення поведінки космічних кораблів в умовах міжпланетних польотів;

5) крім оцінки певних параметрів бажано здійснити на імітаційній моделі спостереження за ходом процесу протягом певного періоду часу;

6) для довготривалого аналізу поведінки систем або повільно протікають процесів може знадобитися стиск тимчасової шкали; тут можливості імітаційного моделювання надзвичайно широкі, воно дозволяє повністю контролювати час вивчення процесу, сповільнюючи або прискорюючи його шляхом зміни масштабу часу моделювання. До цієї категорії завдань відносяться, наприклад, дослідження процесів еволюції, розвитку міст, екологічних систем та ін.

Незважаючи на настільки широкі можливості імітаційного моделювання як універсального інструменту дослідження складних систем, йому властиві і певні обмеження і недоліки. До їх числа відносяться наступні:

1) імітаційна модель в принципі неточна і ми не в змозі виміряти ступінь цієї неточності. Це утруднення може бути подолане лише частково шляхом аналізу чутливості моделі до зміни певних параметрів;

2) на відміну від аналітичної моделі, імітаційна не дозволяє безпосередньо оцінити вплив на поведінку системи варіювання тих чи інших її контрольованих параметрів, оскільки вона дає чисельні результати. Отримання такої інформації пов'язано з додатковими експериментами, це ускладнює застосування ІМ для оптимізації систем;

3) розробка хорошою імітаційної моделі часто обходиться дорого і вимагає значного часу і наявності високообдарованих фахівців. Дж. Форрестер, зокрема, вказує, що для створення оптимальної моделі внутрішньо фірмового планування може знадобитися від трьох до 11 років.

Зазначені обставини показують, що хоча ІМ є надзвичайно цінним і корисним методом для вирішення складних завдань управління, цей метод, звичайно, не панацея для вирішення всіх проблем управління. Розробка і застосування ІМ все ще більше мистецтво, ніж наука. Отже, як і в інших видах мистецтва, успіх або невдача визначається не стільки методом, скільки тим, як він застосовується.

Вимоги до гарної моделі. Визначають ряд істотних рис, якими повинна володіти хороша імітаційна модель. Модель повинна бути:

1) пов'язана з функціонуванням досліджуваної системи;

2) орієнтована на вирішення проблем реального світу;

3) побудована так, щоб служити підмогою тим, хто управляє

системою або аналізує її поведінку.

Оскільки імітація пов'язана з вирішенням реальних завдань, ми повинні бути впевнені в тому, що кінцеві результати точно відображають дійсний стан речей. Отже, модель, яка може дати абсурдні відповіді, повинна бути відразу взята під підозру. Будь-яка модель повинна бути оцінена за максимальним межам змін величин її параметрів і змінних. Якщо модель дає безглузді відповіді на поставлені питання, необхідно повернутися до етапу конструювання моделі.

Модель повинна бути здатна відповідати на питання типу, «а що якщо... (змінити параметри системи, характеристики вхідних впливів або керованих змінних і т. п.)», оскільки це саме ті питання, які найбільш важливі для дослідника або особи, що приймає рішення.

Виходячи з вищесказаного, сформулюємо основні вимоги, яким повинна задовольняти хороша модель. Вона повинна бути: цілеспрямованої; простою і зрозумілою користувачеві; надійної в сенсі гарантії від абсурдних відповідей; зручною в управлінні та обігу; повної з точки зору можливостей вирішення головних завдань; адаптивної, що дозволяє переходити до інших модифікаціям або оновлювати дані; допускає поступові зміни або ускладнення.

Основні етапи процесу імітації.

Процес імітаційного моделювання включає наступні етапи:

1. Постановку проблеми.

2. Аналіз системи – встановлення меж, обмежень і показників ефективності системи, що підлягає вивченню.

3. Конструювання моделі – перехід від реальної системи до деяко логічної схемою (моделі).

4. Підготовку даних – відбір даних, необхідних для побудови моделі, і подання їх у відповідній формі.

5. Трансляцію моделі – опис моделі на мові програмування.

6. Оцінку адекватності – підвищення до прийнятного рівня ступеня впевненості, з якою можна судити щодо коректності висновків про реальну системі, отриманих на основі звернення до моделі.

7. Стратегічне планування - планування експерименту, який повинен дати необхідну інформацію.

8. Тактичне планування – визначення способу проведення кожної серії випробувань, передбачених планом експерименту.

9. Експериментування – процес здійснення імітації з метою отримання бажаних даних і аналізу чутливості.

10. Інтерпретацію результатів – тобто побудова висновків за даними, отриманим шляхом імітації.

11. Реалізацію – практичне використання моделі та результатів моделювання.

12. Документування – тобто реєстрацію ходу здійснення проекту та його результатів, а також процесу створення і використання моделі.

Оскільки багато з перерахованих етапів збігаються з відповідними етапами розробки моделей інших типів, дамо характеристику лише деяких специфічних етапів імітаційного моделювання.

Перевірка моделі. Перевірка моделі являє собою процес, в ході якого досягається прийнятний рівень впевненості в тому, що будь висновок про поведінку системи, зроблений на основі моделювання, буде правильним. Перевірка моделі – етап надзвичайно важливий, зважаючи на те що імітаційні моделі створюють враження реальності і як розробники моделей, так і їх користувачі легко переймаються до них довірою. Оскільки вихідні допущення (припущення), на основі яких будувалася модель, можуть виявитися прихованими або незрозумілими для користувача за масою деталей в описі функціонування, перевірка, виконана без належної старанності, може призвести до катастрофічних наслідків. Такого процесу, як «випробування» правильності моделі, не існує. Замість цього експериментатор в ході розробок повинен провести серію перевірок, щоб зміцнити свою довіру до моделі.

Застосовуючи першу з них, ми повинні переконатися в тому, що модель вірна в першому наближенні. Наприклад, слід поставити таке питання: чи не буде модель давати абсурдні відповіді, якщо її параметри будуть приймати граничні значення. Необхідно переконатися також і в тому, що результати, які ми отримуємо, мають сенс. Для цього необхідно порівняти результати на виході імітаційної моделі з даними, що отримуються на виході реальної системи. Другий метод оцінки адекватності моделі полягає в перевірці вихідних припущень і третій – у перевірці перетворень інформації від входу до виходу.

Останні два методи можуть призвести до необхідності використовувати статистичні вибірки для оцінки середніх значень і дисперсій, дисперсійний аналіз, регресійний аналіз, факторний аналіз, методи статистичної перевірки гіпотез.

Таким чином, способи оцінки імітаційної моделі ділять на три категорії: 1) верифікацію моделі, використовуючи яку, експериментатор хоче переконатися в тому, що модель поводиться так, як було задумано; 2) оцінку адекватності - перевірку відповідності між поведінкою моделі і поведінкою реальної системи; 3) проблемний аналіз - формування статистично значущих висновків на основі даних отриманих шляхом машинного моделювання.

Стратегічне і тактичне планування. Оскільки імітаційне моделювання являє собою процес експериментування на моделі з метою отримання інформації про реальну системі, необхідно подбати про планування експериментів на моделі з метою отримання максимально можливого обсягу інформації при обмежених витратах на виконання експериментів. При цьому залежно від цілей і змісту виділяють стратегічне і тактичне планування.

Стратегічне планування відповідає на питання, як планувати експерименти, які дають бажану інформацію. Планування експерименту широко використовується в імітаційному моделюванні систем. У будь-якому експериментальному дослідженні можна виділити два типи завдань: 1) визначення поєднання параметрів, яке оптимізує змінну відгуку (цільову функцію системи); 2) з'ясування співвідношення між змінною відгуку і контрольованими в системі параметрами. Для обох цих завдань розроблені і можуть бути використані методи планування експериментів. Мета використання планованих експериментів двояка: 1) забезпечення економії з точки зору зменшення числа необхідних експериментів; 2) завдання структурної основи навчання самого дослідника.[17,19]

Тактичне планування пов'язане з визначенням способів проведення випробувань, намічених планом експерименту. Тактичне планування насамперед пов'язано з вирішенням завдань двох типів: 1) визначенням початкових умов в тій мірі, як вони впливають на досягнення сталого режиму; 2) можливо великим скороченням дисперсії одержуваних оцінок при одночасному скороченні необхідних розмірів вибірки.

Перше завдання виникає внаслідок штучного характеру функціонування моделі. На відміну від реального об'єкта, який функціонує безперервно, імітаційна модель працює епізодично, експериментатор запускає модель, робить свої спостереження, а потім вимикає її. Всякий раз, коли починається новий прогін моделі, потрібен якийсь час, щоб модель прийшла в сталий режим, що відповідає режиму роботи об'єкта. Таким чином, початковий період роботи моделі спотворюється через вплив початкових умов в момент її запуску. Отже, завдання полягає у визначенні таких початкових умов, при яких час перехідного процесу в моделі було б по можливості мінімальним.

Друге завдання тактичного планування пов'язана з необхідністю оцінити точність результатів експерименту і ступінь надійності висновків або висновків. Оскільки при імітаційному моделюванні ми оперуємо реалізаціями випадкових процесів, все що визначаються за результатами експериментів характеристики являють собою деякі оцінки випадкових величин і процесів. Для зменшення розкиду характеристики запропоновано ряд методів, які можуть істотно знизити необхідний розмір вибірки і число повторень експерименту.

Експериментування і аналіз чутливості. Одним з найбільш важливих понять в ІМ є аналіз чутливості. Під ним розуміється визначення ступеня мінливості (чутливості) остаточних результатів моделювання до зміни значень параметрів моделі. Аналіз чутливості полягає в тому, що величини параметрів моделі систематично варіюють в деяких межах і при цьому спостерігається зміна досліджуваних характеристик моделі.

Оскільки багато параметрів, що задаються в моделі, визначаються на основі досить недостовірної інформації, знання чутливості моделі до варіацій значень цих параметрів дуже важливо. Якщо в ході експериментів з'ясовується, що модель нечутлива (або малочутлива) до зміни деякого параметра, достатньо обмежитися в моделі його середнім значенням. Якщо ж при незначних варіаціях величини деякого параметра результати моделювання змінюються сильно, то це є підставою для витрати додаткового часу чи коштів з метою отримання більш точних оцінок цього параметра.

Зауважимо, що імітаційне моделювання як не можна краще підходить для аналізу чутливості завдяки тому, що експериментатор може на моделі варіювати будь-який параметр в бажаних межах і спостерігати за змінами в поведінці моделі, повністю контролюючи весь хід експерименту.[17,19,20]

2.1.3. Теорія черг, Теорія черг (вона ж – теорія масового обслуговування(ТМО), гілка теорії ймовірностей) в її сучасному стані дозволяє досліджувати процеси накопичення і розсмоктування черг в стаціонарних (встановлених) режимах роботи систем і мереж. Відповідно вихідні дані і результати розрахунку задаються імовірнісними розподілами та/або їх числовими характеристиками. В якості останніх зазвичай вибираються моменти розподілів. При не дуже обтяжливих умовах моменти однозначно визначають перетворення Лапласа від розподілу і, отже, його щільність і функцію розподілу.

Модель теорії черг утворюють:

1) потік заявок;

2) процес обслуговування (число каналів, їх однорідність і спеціалізація, розподілу тривалості обслуговування, і т. Д.);

3) дисципліна обслуговування (FCFS, LCFS, випадковий вибір з черги, квантування обслуговування, різні варіанти пріоритетів та ін.);

4) показники ефективності (вони включаються в модель, оскільки вибір показника може суттєво вплинути на метод вирішення задачі).

Потік заявок зазвичай вважається рекурентним (з довільним, але однаковим розподілом між суміжними заявками) і описується розподілом інтервалів між суміжними заявками. Якщо воно підпорядковане показовому закону, ми маємо справу з найпростішим потоком (Пуассона). Це припущення вельми часто виконується на практиці, чого маються теоретичні основи (теореми про підсумовуванні і проріджуванні потоків). Однак бувають і винятки.

У разі неординарного потоку вимог у вигляді "пачок" постійного об'єму зручніше переходити до ординарного потоку групових заявок.

Канали обслуговування, як правило, вважаються тотожними, повнодоступним (неповнодоступними схемами давно і ґрунтовно займається телефонія) і працюючими незалежно від інших. Тривалість обслуговування заявки задається функцією розподілу B (t).

Під дисципліною обслуговування головним чином розуміється порядок вибору заявок з черги. Типовою вважається FCFS («перший прийшов - перший обслужений»). Вельми характерний і випадковий вибір з черги (RANDOM), розрахунок якого пов'язаний зі значними, але переборними труднощами. Є можливість розраховувати одноканальні системи зі статичними (постійними) пріоритетами - без переривання і з різними варіантами такого, а також з динамічним відносним пріоритетом, зростаючим за часом очікування.

Показники ефективності систем масового обслуговування (СМО) класифікуються в двох значеннях: по точці зору (господар або користувач) і за типом значень (рахункові і тимчасові). Користувача цікавлять в основному реактивність системи (розподіл часу очікування і його моменти, середня довжина черги), розподіл повного часу перебування, а також ймовірність відмови в прийомі на обслуговування (при обмеженій черги). Для господаря з економічних міркувань бажаний високий коефіцієнт завантаження системи (калька з англійського utilization для ρ в російській мові перевантажена небажаними асоціаціями). Він розраховується за формулою ρ = λb/n, де λ - інтенсивність потоку заявок, b - середній час обслуговування, n - число каналів. Очевидна протилежність інтересів сторін: чим вище коефіцієнт завантаження, тим менше будуть задоволені замовники. З загальносистемних позицій в показнику якості роботи СМО повинні враховуватися інтереси обох сторін. Очевидно, що для систем з відмовами збільшення числа каналів монотонно знижує ймовірність відмови.

З обох згаданих точок зору цікавить продуктивність системи, звичайно вимірювана середнім числом обслужених в одиницю часу заявок. У стаціонарному (усталеному) режимі при необмеженій очікуванні вона дорівнює середньому числу заявок, що прибувають в систему за той же час, тобто відомої вхідний величиною. При заданому вхідному потоці продуктивність системи доводиться розраховувати тільки для систем з втратами (обмеженому очікуванні) і замкнутих систем з примітивним входять потоком.

Закони збереження, в комплексі сформульовані для стаціонарних СМО в середині 1960-х рр. (М. Краковскі), дозволили різко спростити аналіз складних систем обслуговування. З їх здаються банальними словесних формулювань елементарно виводяться нетривіальні кількісні слідства. Розглянемо, наприклад, закон збереження обсягу роботи: у класі дисциплін, реалізація яких не створює системі додаткової роботи, обсяг знаходиться в системі роботи постійний і не залежить від конкретної дисципліни.

Для одноканальної системи середній час w очікування початку обслуговування новоприбулою заявкою якраз і дорівнює середньому обсягу (тривалості виконання) накопиченої роботи. Цей обсяг складається з середнього залишку поточного обслуговування b₂/2b₁, помноженого на ймовірність зайнятості системи ρ = λb₁, і середньої тривалості обслуговування черги, що скопилася. Середня довжина останньої q = λ w (формула Літтла, яка випливає з закону збереження черги), причому обслуговування кожної заявки в середньому вимагає b₁ одиниць часу.

Отже,

w = λb₂/2+ λ w b₁,

звідки випливає формула (Полячека-Хинчина)

Вже з цієї формули і формули Літтла можна вивести ряд вельми повчальних наслідків:

• Очікувана довжина черги відмінна від нуля при потоці як завгодно малої інтенсивності.

• Коефіцієнт завантаження ρ = λb₁/n повинен бути строго менше одиниці, оскільки при ρ → ∞ середній час очікування прямує до нескінченності (це вірно для будь-яких систем обслуговування). Перевірка цієї умови повинна передувати будь-яким спробам моделювання систем та мереж (найбільш очевидний приклад поєднання аналітичного підходу та імітації).

• Для показово розподіленого обслуговування дисперсія, D = , і середній час очікування при інших рівних умовах буде вдвічі більше, ніж при регулярному обслуговуванні.

Складність вирішення досить змістовних завдань ТМО порівняно рано зробила їх об'єктом зусиль програмістів. Одна з перших згадок (1966р) про результати таких описує програму, що дозволяє розраховувати ітераційним методом марковские СМО з числом станів до 5000. Пакет МОСТ (Масове Обслуговування – СТаціонарні задачі) в умілих руках дозволяє розраховувати одно- і багатоканальні системи та мережі обслуговування з довільними (заданими своїми моментами) розподілами інтервалів між вхідними заявками і тривалостей обслуговування.

Перерахуємо на якісному рівні висновки, які випливають з сучасної теорії черг і повинні бути прийняті на озброєння всіма «імітаторами».

1. Сучасний стан теорії черг дозволяє вирішувати широке коло завдань з розрахунку систем обслуговування – в тому числі багатоканальних, з немарковськими вхідними потоками і розподілами обслуговування, з відмінними від FCFS дисциплінами вибірки з черги, а також за розрахунком мереж обслуговування.

2. Теорія черг «не вимагає великого розуму і знання математики» лише в самих елементарних випадках, що мають чисто навчальне цінність, та й то для «обмеженого контингенту». Реальної заміни знанню не існує.

3. При збереженні середніх будь-яке збільшення невизначеності (дисперсії інтервалів між заявками, тривалості обслуговування, обсягу пачки) погіршує характеристики обслуговування, особливо для сильно завантажених систем. Найбільш наочно це випливає з формули Полячека-Хинчина.

4. Для існування стаціонарного режиму коефіцієнт завантаження системи (і кожного вузла мережі) повинен бути строго менше одиниці. Продуктивність (вона ж – пропускна здатність системи або вузла мережі) обмежена сумарним швидкодією каналів n/b.

5. Вплив вищих моментів на показники обслуговування збільшується з ростом коефіцієнта завантаження і швидко убуває по числу врахованих моментів.

6. Дроблення сумарної продуктивності багатоканальних систем призводить до зменшення середнього часу очікування заявки, але збільшує середній час перебування. При пропорційному збільшенні інтенсивностей вхідного потоку та обслуговування середні часи очікування і перебування в системі зменшуються в стільки ж разів.

7. Введення пріоритетів лише перерозподіляє ресурс системи на користь більш пріоритетних заявок за рахунок менш пріоритетних, причому відносний виграш у часі очікування для перших істотно перевершує програш для других.

8. «Класична» теорія мереж обслуговування через занадто обмежуючих умов її застосовності практично марна. Імітаційне моделювання підтвердило прийнятну точність методів потокоеквівалентної декомпозиції мережі. Будь-якій формі розрахунку або імітації мережі має передувати виявлення її вузьких місць - найбільш завантажених вузлів - і їх «розшивання».

9. Розрахунок досить адекватних реальності систем і мереж обслуговування практично повинен (і може) спиратися на розроблені фахівцями пакети прикладних програм (ППП). Свідоме їх застосування вимагає якщо не знання, то принаймні розуміння суті вищезазначених методів. Такі розрахунки вільні від відомих недоліків ІМ і можуть служити як для безпосереднього вирішення практичних завдань, так і для попереднього обрахунку модельованих систем і мереж та тестування моделей.

10. Методи ІМ:

а) мають обмежену точність;

б) вимагають великого числа випробувань для визначення ймовірностей рідкісних подій і розрахунку сильно завантажених систем;

в) практично непридатні для оптимізації систем та мереж (малі зміни цільової функції маскуються статистичними флуктуаціями).

11. Методами ТМО незручно вирішувати завдання багаторесурсні, з розщепленням і злиттям заявок, з циклічними часовими режимами і т. п. Тут ІМ незамінне.[21,22]

Дата добавления: 2015-12-07