Работа 7. Сложение гармонических колебаний

Задание: получить на экране осциллографа фигуры Лиссажу и картину биений. Определить частоту n_х генератора Г_х.

Оборудование и принадлежности: осциллограф, два звуковых генератора, соединительные провода.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Колебания системы с двумя степенями свободы. Переход от колеблющихся систем с одной степенью свободы к системам с несколькими степенями свободы приводит к качественным изменениям свойств движения: в таких системах возможны колебания с разными частотами. Их совокупность - частотный спектр - тем богаче, чем большим числом степеней свободы обладает система.

В случае малых колебаний любая линейная комбинация гармонических колебаний есть один из возможных видов движения колеблющейся системы. В этом заключается физический смысл принципа суперпозиции (сложения) колебаний в системах с несколькими степенями свободы.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты w совершающихся вдоль осей Х и Y, по законам

(1)

(2)

где А ₁ и А ₂ - амплитуды колебаний; j₀ - начальная фаза второго колебания, совпадающая в нашем случае с разностью фаз складываемых колебаний. Найдем траекторию частицы. Для этого из (1) и (2) исключим время t. Тогда получим

(3)

Это - уравнение эллипса. Размер и ориентация его осей зависят от значений А ₁, А ₂ и j₀.

При j₀= 0 или j₀= p эллипс вырождается в прямую линию:

(4)

Рис. 1

В этом случае результирующее движение (рис. 1) является гармоническим колебанием, происходящим с частотой w и амплитудой

(5)

При j₀= - p/2 из уравнения (3) получим

Рис. 2

(6)

т.е. частица движется по эллипсу с полуосями A ₁ и A ₂, ориентированными вдоль осей Х и Y соответственно (рис. 2). при j₀ = + p/2 движение происходит по часовой стрелке, а при j₀ = - p/2 - в обратном направлении. При равенстве амплитуд A ₁ и A ₂ эллипс вырождается в окружность.

Рис. 3

Если частота w₁ ¹ w₂ , то частица описывает кривые более сложного вида (рис.3). При простых кратных отношениях между частотами кривые замкнутые (их называют фигурами Лиссажу). Они вписаны в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам складываемых колебаний. Отношение частот

(7)

где n ₁ и n ₂ - число касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами ограничивающего прямоугольника. Если отношение w₁/w₂- число иррациональное, то траектория частицы незамкнутая и вместо фигуры Лиссажу получается область, сплошь заполненная траекторией движущейся частицы.

Биения. Рассмотрим сложение двух колебаний, происходящих вдоль одной прямой с частотами w₁ и w₂, незначительно отличающимися друг от друга (W = ½w₁- w₂½<< w₁ и W<<w ₂). Пусть в начальный момент времени фазы складываемых колебаний одинаковы. Тогда эти колебания запишутся в виде

и (8)

Найдем сумму двух таких колебаний, предположив для простоты сначала, что их амплитуды одинаковы (A ₁ = A ₂):

(9)

Рис. 4

Отсюда видно, что результирующее колебание происходит с частотой (w₁+w₂)/2, а амплитуда колебаний со временем изменяется в пределах от 2 A ₁ до 0 по закону (рис. 4). Значение 2 A ₁ достигается тогда, когда фазы складываемых колебаний совпадают, а нуль - когда фазы противоположны. Периодическое изменение результирующей амплитуды, получающееся при сложении колебаний, совершающихся с близкими частотами и вдоль одной прямой, называют биениями. Циклическая частота биений W = ½w₁ - w₂½, период биений T _б = 2p/W (см. рис.4) и частота биений n_б = 1/ T _б = ½n₁ - n₂½, где n₁ и n₂- частоты складываемых колебаний.

Рис. 5

Если амплитуды складываемых колебаний не равны (A ₁ ¹ A ₂), то максимальное значение амплитуды результирующего колебания равно A ₁+ A ₂, а минимальное - А ₁- А ₂. В этом случае биения выражены менее четко (рис.5). Частоты W, n_б и период T _б определяются разностью частот складываемых колебаний и не зависят от их амплитуд и начальных фаз.

Наблюдать биения и другие случаи сложения колебаний можно с помощью электронного осциллографа и звуковых генераторов.

Дата добавления: 2015-12-07