Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

Основные понятия ТВ. Объективная и субъективная стороны вероятности.

Событие - А, В, С, D называется всякий факт который может произойти или не произойти при выполнении определенного комплекса условий.

Различают: достоверное, невозможное и случайное событие.

Достоверное - если оно происходит обязательно при выполнении определенного комплекса событий.

Невозможное - если оно не может наступить при выполнении определенного комплекса условий.

Остальные случайные.

Вероятность события – численная мере объективной возможности, наступление этого события P(A).

Два события А и В называют совместными если наступление одного из них не исключает возможность наступления другого события.

А и В- несовместные, если наступления одного из них исключает возможность наступления другого из них.

События - называется единственного возможными, если в результате испытания наступает хотя бы одного из этих испытаний.

События - образуют полную группу событий, если они являются единственную возможными и взаимно не совместными.

2 события образуют полную группу событий, называются противоположными.

А и - противоположные события.

3.Частота события. Её сходимости к вероятности.

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, В, С,....
Пусть при n испытаниях событие A появилось m раз.
Отношение m/n называется частотой (относительной частотой) события A и обозначается Р*(А)=m/n
Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р*(А) случайного события обладает устойчивостью.

Пусть при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб появился 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005.

Таким образом, мы видим, что при большом числе бросаний монеты частота появления герба обладает устойчивостью, т. е. мало отличается от числа 0,5. Как показывает опыт, это отклонение частоты от числа 0,5 уменьшается с увеличением числа испытаний. Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.
Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.
Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.
Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n). Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.
Если событие A не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота m/n при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа p (где 0 < p < 1) — вероятности события A.

Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

События является исходами одного и того же испытания каждое из которых может наступить с одной и той же вероятностью и не является более объективным по отношению к другим наз-ся равно возможными.

Вероятность события - число, которое является исходом испытания с равно возможными исходами равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равно возможных исходов.

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит 0<m/n<1, следовательно,

0<P(A)<1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 P(A) 1

Основные формулы комбинаторики

Сочетание (из n по m) называется соединение из n элементов и отличающим друг от друга составом элементов.

Числу сочетания равно числу способов выбора m элементов из n.

Если в сочетание элементы могут повторяться, то их называют сочетание с повторением

Размещение из называется соединение состоящих из m элементов и отличающихся друг от друга либо составом элементов либо порядком их следования.

Если в размещения элемента могут повторятся, то их называют размещением с повторением

Перестановка называется соединение состоящих из n элементов и отличающихся друг от друга порядком следования элементов.

Дата добавления: 2015-12-07