Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

Теорема. Пусть функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке . Тогда , и обратная функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке .

Доказательство. Докажем сначала, что .Пусть . Если или , то . Если , то по теореме (Если функция непрерывна на отрезке , причем , и -- произвольное число такое, что , то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой ( т. е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка ).) найдется такая, что , т. е. . Пусть , тогда найдется такая, что . Следовательно, в силу строгого возрастания функции на отрезке имеем: . Таким образом, . Итак, и строго возрастает, следовательно, по теореме (Если функция и строго монотонная на множестве , то обратное соответствие однозначное, т. е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.) существует обратная функция , и она строго возрастает на . Докажем теперь непрерывность функции на отрезке . Рассмотрим любое и любую последовательность , сходящуюся к . Обозначим . Надо доказать, что . Предположим противное. Тогда из условия следует, что существует ее подпоследовательность и . Из непрерывности функции в точке следует сходимость к . Но , а это дает противоречие.

Незначительно изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог предыдущей теоремы.

Теорема. Пусть функция непрерывна и строго монотонно возрастает на интервале и . Тогда образ интервала есть интервал , и обратная функция существует, непрерывна и строго монотонно возрастает на интервале . Теорема справедлива на .

Пример. Известно, что функция строго монотонна и непрерывна на отрезке . Тогда по теореме(1) существует обратная к ней функция на отрезке , и она непрерывна и строго монотонно возрастает; это известная функция .

Пример. . Эта функция определена, непрерывна и строго возрастает на луче . По теореме(2) для нее существует обратная функция и она непрерывна и строго возрастает.

Дата добавления: 2015-12-07