Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.

Читайте также:

Единственность предела сходящейся последовательности

Последовательность называется сходящейся, если существует число , к которому она сходится, т.е. Иногда удобно записывать определение сходимости последовательности в следующих эквивалентных первоначальному видах: вне окрестности лежит конечное число элементов последовательности .

Теорема. Если последовательность сходится, то ее предел единственный.

Доказательство (от противного). Пусть . Возьмем , тогда по выбору , с другой стороны, по определению сходимости, для

Следовательно, для , что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.

Ограниченность сходящейся последовательности.

Последовательность называется ограниченной, если . Это означает, что или что множество можно накрыть отрезком .

Замечание. Ясно, что последовательность будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком , начиная с некоторого номера . (Вне отрезка может лежать лишь конечное число элементов последовательности , следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком , где ).

Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть и . Тогда, по определению сходимости, существует номер такой, что для всех . Следовательно, , и поэтому . Итак, по замечанию, последовательность ограничена.

Сохранение знака сходящейся последовательности

Теорема. Если последовательность сходится к числу , то вся последовательность лежит вне окрестности нуля (радиус а/2), начиная с некоторого номера. (Другая формулировка теоремы: a_nàa>0,тогда )