Читайте также:
|
Критерий вырожденной матрицы.
Напомним, что квадратная матрица называется невырожденной, если ее ранг равен ее порядку.
Теорема 1. (критерий вырожденной матрицы) Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть 
– вырожденная квадратная матрица n -го порядка, т.е. 
. Покажем, что 
. Для вычисления определителя матрицы A приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. При этом определитель полученной матрицы может отличаться от определителя исходной матрицы лишь ненулевым числовым коэффициентом: 
. С другой стороны, ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях, а значит, 
. А так как матрица 
ступенчатого вида, и ее ранг равен числу ненулевых строк, то получаем, что у матрицы есть хотя бы одна нулевая строка, поэтому ее определитель, а значит, и определитель исходной матрицы равны нулю.
Достаточность. Пусть теперь – квадратная матрица n -го порядка и . Покажем, что . Опять приведем исходную матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, при этом определитель полученной матрицы будет равен произведению элементов ее главной диагонали: 
. С другой стороны, по условию, . Следовательно, хотя бы один из элементов главной диагонали матрицы равнее нулю (
по свойствам определителей). Допустим, что 
. Если 
, то последняя строка матрицы нулевая, поэтому 
. Пусть 
. Тогда, если 
– первый ненулевой элемент i -ой строки, то 
; если 
– первый ненулевой элемент следующей строки, то 
и т.д.; если 
– первый ненулевой элемент последней строки, то 
. Получили, что в последней строке нет ненулевых элементов, а значит, и в этом случае . Так как ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях, то 
■
Следствия:
1) Матрица не вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.
2) Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю
3) n векторов пространства 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из этих векторов, равен нулю.
4) n векторов пространства образуют базис этого пространства тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из этих векторов, не равен нулю.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 71 | Нарушение авторских прав