Якщо ввести позначення у вигляді матриць

Читайте также:

то систему ЛАР можна записати у матричній формі

де – матриця коефіцієнтів при невідомих,

– матриця невідомих,

– матриця правої частини системи.

Матричний метод (метод оберненої матриці)

Помножимо обидві частини рівняння (2.3.2) на матрицю зліва і враховуючи, що , , одержуємо матрицю невідомих:

Зауваження. Матричним методом можна розв’язувати тільки такі системи, у яких матриця коефіцієнтів - невироджена, тобто .

Метод Гауса

Із системи ЛАР виписуємо розширену матрицю , тобто до матриці коефіцієнтів при невідомих дописуємо стовпець правої частини. За допомогою елементарних перетворень тільки над строками розширеної матриці приводимо матрицю коефіцієнтів до трикутного вигляду – система визначена (єдиний розв’язок). Якщо при цьому матриця коефіцієнтів привелась до виду трапеції – система невизначена (має безліч розв’язків). І якщо у матриці коефіцієнтів утворився нульовий рядок, а у правій частині не нуль, то система не сумісна (не має розв’язків).

Розглянемо загальний випадок, коли матриця коефіцієнтів приведена до трикутного вигляду:

де і - перетворені числа.

Одержана матриця є розширеною матрицею системи:

Розв’язання даної системи має вигляд:

Таким чином, розв’язок вихідної системи ЛАР, знаходимо з останньої системи, починаючи з рівняння . Потім підставляємо в передостаннє рівняння і знаходимо і т.д.

Зауваження. Методом Гауса можна розв’язувати системи будь-яких розмірів, тоді як в методі Крамера і матричному є обмеження – число рядків у матриці коефіцієнтів повинно дорівнювати числу стовпців. Методом Гауса одночасно проводиться дослідження системи на сумісність і у випадку невизначеної системи можна знайти фундаментальну сукупність розв’язків (ФСР).

Завдання № 1. Визначити сумісність системи ЛАР і, якщо можливо, розв’язати матричним методом та методом Гауса.