Тема: Матриці та дії над ними

Література: [1], розділ ІІ,§6, стор.71-82

Ціль: з’ясувати, що таке матриця, які існують види матриць, які дії можна виконувати над ними; розглянути метод знаходження оберненої матриці та розв’язання матричних рівнянь за її допомогою; поняття рангу матриці.

План.

1. Матриці, дії над матрицями.

2. Поняття оберненої матриці, метод її знаходження.

3. Розв’язання матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

4. Ранг матриці.

Матриці, дії над матрицями

Основні властивості дій над матрицями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Завдання № 1. Знайти суму матриць і .

Обидві матриці мають однакову кількість рядків і стовпців. Такі матриці можна додавати. Згідно формули суми матриць , отримуємо:

.

В результаті додавання матриць і отримали одиничну матрицю .

Завдання № 2. Дано три матриці , , . Знайти матрицю .

Згідно визначення добутку матриці на число, отримуємо:

, , .

Згідно формули додавання та віднімання матриць знаходимо:

Завдання № 3. Перемножте матриці та .

Оскільки кількість стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці , то такі матриці можна перемножити по правилу “рядок на стовпець”, тобто

У даному випадку неможливе, оскільки число стовпців матриці не дорівнює числу рядків матриці .

Завдання № 4. Перемножити матриці та

. Добуток неможливий, тому що число стовпців не дорівнює числу рядків тобто .

Обернена матриця

Якщо – квадратна не вироджена матриця , то існує і притому єдина обернена матриця до матриці і при цьому виконується рівність

де – одинична матриця, тобто .

Для знаходження матриці оберненої до невиродженої квадратної матриці необхідно:

1) обчислити визначник матриці , тобто ;

2) знайти алгебраїчні оповнення до кожного елементу визначника ;

3) у транспорнованій матриці (рядки стали стовпцями) кожен елемент замінити його алгебраїчним доповненням і помножити одержану матрицю на число .

В результаті отримаємо формулу знаходження оберненої матриці:

Завдання № 5. Дана матриця .

Знайти: а) ; б) ; в) |; г) .

а) за формулою множення матриці на число:

б) за формулою множення двох матриць:

в)

г) ;

за формулою обчислення оберненої матриці отримуємо:

.

Перевіримо, чи правильно знайдена обернена матриця:

Завдання № 6. Знайти таку матрицю , що задовольняє рівнянню , де

Помножимо рівняння на зліва, тоді або . Отже, необхідно знайти .

; .

Тоді

Завдання № 6. Знайти таку матрицю , що задовольняє рівнянню , де

Помножимо рівняння на з права, тобто , .

Знайдемо обернену матрицю :

Тоді

Зробимо перевірку:

Ранг матриці

Завдання № 7. За допомогою елементарних перетворень визначити ранг матриці .

~ ~ ~

Дата добавления: 2015-11-26