Читайте также:
|
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости и линейной независимости строк (столбцов) матрицы.
В матрице 
рассмотрим отдельные строки.
Обозначим строки 
; 
; …; 
.
Определение 1.16 Строка 
называется линейной комбинацией строк 
, если ее можно представить в виде
, где 
- числовые коэффициенты;
, 
В этом случае, говорят, что строка линейно выражается через строки .
Определение 1.17 Система, состоящая из строкматрицы , называется линейно зависимой, если хотя бы одна из этих строк является линейной комбинацией других строк этой системы, например,
.
В противном случае, если ни одна из строк не может быть представлена в виде линейной комбинации других строк этой системы, строки называются линейно независимыми.
Замечание. Следует отметить, что определение 1.17 не является строгим. Строгое определение линейно зависимой и линейно независимой системы будет дано ниже.
Примеры.
1) Рассмотрим строки 
и 
. Нетрудно, заметить, что 
т. е. строка 
линейно выражается через строку 
, следовательно, строки 
- линейно зависимы.
Две пропорциональные строки – линейно зависимы.
Соответственно, две непропорциональные строки – линейно независимы.
2) Рассмотрим три строки 
, 
, 
Нетрудно заметить, что строка 
может быть представлена в виде суммы строк и , т.е. 
. Следовательно, строки 
- линейно зависимые.
Если отбросить строку , то строки и - линейно независимые, так как непропорциональные. Следовательно, максимальное число линейно независимых строк в данной системе равно двум.
Теорема о ранге матрицы
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, через которые линейно выражаются все остальные строки матрицы.
Пример.
Найти максимальное число линейно независимых строк матрицы
.
Решение.
Задача сводится к отысканию ранга матрицы 
. Найдем ранг матрицы, приведя ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
̴ 
̴ 
.
В ступенчатой матрице две ненулевые строки, следовательно, 
, а значит, максимальное число линейно независимых строк матрицы равно 2. Первая и вторая строки матрицы – линейно независимые.
Теорема о ранге матрицы имеет принципиальное значение при изучении систем линейных алгебраических уравнений.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 155 | Нарушение авторских прав