Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Потери механической энергии и работа непотенциальных сил. К.п.д. машины

Читайте также:
  1. D триггеры, работающие по фронту.
  2. I. ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
  3. I. ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
  4. I. ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
  5. I. ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
  6. I. ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
  7. I. ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

 

Если бы закон сохранения механической энергии выполнялся в реальных установках (типа машины Обербека), тогда много расчётов можно было бы делать на основе уравнения:

То+ По = Т(t) + П(t), (8)

 

где: То+ По = Ео - механическая энергия в начальный момент времени;

Т(t) + П(t) = Е(t) - механическая энергия в некоторый последующий момент времени t.

Применим формулу (8) к машине Обербека, где можно изменять высоту подъёма груза на нити (центр масс стержневой части установки не меняет своего положения). Поднимем груз на высоту h от нижнего уровня (где считаем П =0). Пусть вначале система с поднятым грузом покоится, т.е. То = 0, По = mgh (m - масса груза на нити). После отпуска груза в системе начинается движение и её кинетическая энергия равна сумме энергии поступательного движения груза и вращательного движения стержневой части машины:

 

Т = + , (9)

где - скорость поступательного движения груза;

, J - угловая скорость вращения и момент инерции стержневой части

машины.

Для момента времени, когда груз опускается на нулевой уровень, из формул (4), (8) и (9) получаем:

m gh = , (10)

 

где , w - линейная и угловая скорости в конце спуска.

Формула (10) представляет собой уравнение, из которого (в зависимости от условий опыта) можно определять скорости и , массу m, момент инерции J, либо высоту h.

Однако формула (10) описывает идеальный тип установки, при движении частей которой отсутствуют силы трения и сопротивления. Если работа таких сил не равна нулю, тогда механическая энергия системы не сохраняется. Вместо уравнения (8) в этом случае следует записать:

 

 

Тоо = Т(t) + П(t) + As, (11)

 

где А s - суммарная работа непотенциальных сил за все время движения.

Для машины Обербека получаем:

 

m gh = , (12)

 

где , wk - линейная и угловая скорости в конце спуска при наличии потерь энергии.

В исследуемой здесь установке действуют силы трения на оси шкива и дополнительного блока, а также силы сопротивления атмосферы при движении груза и вращении стержней. Работа этих непотенциальных сил заметно уменьшает скорости движения частей машины.

В результате действия непотенциальных сил часть механической энергии преобразуется в другие формы энергии: внутреннюю энергию и энергию излучения. При этом работа Аs точно равна суммарному значению этих других форм энергии, т.е. всегда выполняется фундаментальный, общефизический закон сохранения энергии.

Однако в установках, где происходит движение макроскопических тел, наблюдаются потери механической энергии, определяемые величиной работы Аs. Это явление существует во всех реальных машинах. По этой причине вводится специальное понятие: коэффициент полезного действия - к.п.д. Такой коэффициент определяет отношение полезной работы к запасённой (израсходованной) энергии.

В машине Обербека полезная работа равна полной кинетической энергии в конце спуска груза на нити, и к.п.д. определяется формулой:

 

к.п.д. = (13)

 

Здесь По = mgh - запасённая энергия, израсходованная (преобразованная) в кинетическую энергию машины и в потери энергии, равные Аs, Тк - полная кинетическая энергия в конце спуска груза (формула (9)).

 

4.2. Расчёт к.п.д. машины Обербека при опускании груза

 

В данном исследовании требуется опытным путем найти потери энергии As и к.п.д. машины Обербека. Требуется также сравнить некоторые параметры движения с теми, какие могли бы реализоваться при условии выполнения закона сохранения механической энергии.

Для определения работы Аs (т.е. потерь энергии) из формулы (12) получаем:

 

Аs= mgh - Тк, (14а)

где

Тк = (14б)

 

Формула (14б) для кинетической энергии преобразуется с учётом , т.к. скорость груза равна скоростям всех точек нити вплоть до точки В на поверхности шкива (см. рис.2), а скорость этой точки определяется формулой Эйлера: , где r - радиус шкива. С учётом этой подстановки из (14б) получаем:

 

Тк = (15)

 

Момент инерции относительно оси стержневой части машины равен:

 

Jр= 2Jст + 4Jгр + Jшк, (16)

 

где Jст = - момент инерции каждого стержня;

 

Jгр = - момент инерции каждого груза на стержнях;

Jшк = - момент инерции шкива, R - радиус 2-й ступени шкива.

 

Обозначения для расчёта по формуле (16) даны на рис.3. В установке применён двухступенчатый шкив с внешним радиусом R, который учитывается для расчёта момента инерции Jшк.

 

R

r

 


 

Рис.3.

 

Для определения скорости спуска груза в работе измеряется время спуска с высоты h. Груз движется под действием постоянных сил G и S2 (см. рис.2). Следовательно, его ускорение а - постоянное. Учитывая, что груз начинает движение из состояния покоя, запишем:

 

(17)

 

,

 

где t - время спуска с высоты h.

Из формул (17) получаем:

 

(18)

 

Подставляя (18) в (15), запишем формулу для кинетической энергии машины Обербека в конце спуска груза:

 

Тк= (19)

 

Теперь формула (14а) с учётом формулы (19) определяет потери механической энергии в машине Обербека.

Коэффициент полезного действия определяется формулой (13), если рассматривается только опускание груза, т.к. в этой формуле начальная запасённая энергия равна По= mgh, полезная работа равна кинетической энергии машины Тк в конце спуска груза.

 

4.3. Расчёт к.п.д. машины Обербека при подъёме груза

 

После опускания груза на всю длину нити и короткой остановки он начинает подниматься вверх и останавливается (вместе со стержнями) на высоте h1, меньшей, чем высота начального спуска h.

Начальную скорость для движения вверх центр масс груза получает под действием "рывка", т.е. кратковременного (D t ~ 10-2 ¸ 10-3 c) значительного увеличения силы натяжения нити. Однако сразу после "рывка" сила натяжения становится меньше силы тяжести, приложенной к грузу (S2 < G, см. рис.2).

Подъём груза на высоту h1 обеспечивается наличием момента импульса и кинетической энергии вращающейся части машины Обербека. Кинетическая энергия Т* 0 в начале подъёма равна:

 

Т0* = Тк - (20)

 

Здесь - скорость груза в конце предыдущего спуска;

- угловая скорость стержневой части машины;

Тк - определяется формулой (19).

В формуле (20) учтено, что груз на упоре (внизу) остановился и в процессе неупругого столкновения с подставкой "потерял" свою кинетическую энергию.

Следовательно, механическая энергия машины в начальный момент подъёма равна:

 

Ео*= То*о*, (21)

 

где По * = 0.

Формула (21) показывает, что в данном случае начальной, запасённой энергией является кинетическая энергия машины. Эта энергия будет преобразована в потенциальную энергию груза на высоте h1 и в потери Аs1 в процессе подъёма груза.

Учитывая (11), запишем:

 

То*о*1(t)+П1(t)+As1 (22)

 

 

Груз в верхней точке останавливается: П1(t) = mgh1; Т1(t) = 0 и формула (22) преобразуется к виду:

 

(23)

 

Потери энергии при подъёме и к.п.д. машины определяются формулами:

 

(24а)

 

(24б)

 

 

4.4. Дополнительные расчёты и сравнительный анализ идеальной и реальной машины Обербека

4.4.1. Наиболее полный анализ и проверка полученных в опыте результатов получаются при совместном использовании закона сохранения энергии и законов динамики движения исследуемой машины.

Машина Обербека содержит вращающуюся стержневую часть и груз, совершающий поступательное движение. Дополнительным блоком, показанным на рис.2, будем пренебрегать, так как его момент инерции на несколько порядков меньше момента инерции стержневой части. Хотя, при особо точном анализе, следует учесть наличие и этого блока, момент инерции которого изменяет, как показано на рис.2, соотношение сил натяжения нити.

Обозначая силу натяжения нити 0, запишем систему двух уравнений динамики для идеальной машины:

 

(25)

 

Здесь: первое уравнение – это закон динамики вращательного движения стержневой части машины; второе уравнение – закон динамики поступательного движения груза (II закон динамики Ньютона);

- векторы линейного ускорения груза и углового ускорения стержневой части;

- вектор момента силы натяжения относительно точки Р на оси машины;

r – радиус шкива, на который намотана нить;

Ip – момент инерции стержневой части относительно оси вращения;

G = mg – сила тяжести, приложенная к грузу.

Записывая уравнения (25) в виде проекции на оси выбранной системы координат и дополняя их уравнением кинематической связи: a0 = ± r ·e0 , (где знаки «+» или «-» зависят от направления осей выбранной системы координат), получим формулу для расчёта ускорения груза:

 

(26)

 

Далее, задавая высоту спуска груза h и применяя формулы (17), находим время спуска t0k и скорость груза в момент окончания спуска.

Значения t0k и надо сравнить с полученными в опыте значениями tk и . Очевидно, что время t0k должно быть меньше измеренного в опыте, а скорость , наоборот, больше, так как в реальной машине Обербека существуют потери энергии при спуске, обусловленные, главным образом, работой непотенциальных сил трения

на оси и сопротивления атмосферы при вращении стержневой части машины. Совместный момент этих сил при опускании груза направлен противоположно моменту силы натяжения нити и по этой причине увеличивается время спуска и уменьшается скорость груза, а также – угловая скорость стержневой части машины.

В случае несогласования результатов расчёта t0k и для идеальной машины и значений tk и , полученных в опыте, требуется:

а)проверить расчёт момента инерции Ip;

б) проверить результаты обработки прямых и косвенных измерений в опыте.

4.4.2. При подъёме груза коэффициент полезного действия машины Обербека меньше, чем при спуске. Это объясняется тем, что в начале подъёма происходит рывок нити, то есть кратковременное (Dt» 10-1¸10-3с) увеличение её натяжения.

Рывок нити обеспечивает быстрый отрыв груза от подставки и, соответственно, большое ускорение груза в самом начале подъёма. За время рывка средняя сила натяжения нити больше силы тяжести, приложенной к грузу. Такие силы натяжения действуют в результате деформаций, не подчиняющихся закону Гука, и оказываются непотенциальными. Следовательно, работа непотенциальной силы натяжения при рывке нити преобразует часть механической энергии машины Обербека в другие формы энергии.

В опыте этот эффект приводит к тому, что высота подъёма h1 будет меньше той, на которую поднялся бы груз, если бы действовали только силы трения и сопротивления.

Подумайте, как, используя II закон динамики Ньютона, вычислить среднее значение силы натяжения при рывке нити. Для этого следует принять, что груз в начале подъёма приобретает такую же скорость, как в момент опускания на подставку. Расчёт выполнить для максимальной массы груза (см. условия опыта), время рывка принять Dt = 5·10-3 c.

4.4.3. В реальных машинах величина потерь энергии и к.п.д. обычно зависят от нагрузки. При этом могут существовать разные зависимости. В случае машины Обербека критерием нагрузки служит масса груза на нити, т.к. с ростом массы увеличиваются: сила тяжести, сила натяжения нити и скорость движения. Характер зависимости хорошо иллюстрируется графиками. Для машины Обербека следует построить графики зависимости к.п.д. от массы грузов и зависимости кинетической энергии Тк от начальной потенциальной энергии П.

На рис.4 показаны графики для частного (предполагаемого) случая постоянного к.п.д. (рис.4а). При этом условии зависимость Тк = Т(П) является линейной и представляет собой прямую с наклоном меньше, чем у зависимости для идеального случая: к.п.д. = 1 (рис.4б). Потери энергии растут с увеличением нагрузки: на графике - это отрезки на вертикали между двумя прямыми. Наклон графика определяет постоянный к.п.д. = , где В и Д – значения кинетической и потенциальной энергий на осях координат (см. рис. 4б).

Однако в опыте часто получаются иные зависимости, это определяется качеством балансировки, смазкой подшипников и пр. Например, если потери постоянны при разных нагрузках, тогда с ростом нагрузки к.п.д. будет увеличиваться.

Построив графики типа показанных на рис.4, можно наглядно увидеть, какая зависимость для потерь энергии реализуется в проведённом эксперименте.

 

 

1,0

к.п.д. Тк, Дж

 

0,8 2,0

 

к.п.д. = 1

0,6 1,5 As

       
   
 
 


0,4 1,0

 
 


0,2 0,5 к.п.д.= 0.8 В

As

Д

m, кг П, Дж

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 0,5 1,0 1,5 2,0

а) б)

Рис. 4.

 


Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 212 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.025 сек.)