Физический смысл производной

Предположим, что функция s = f (t) описывает закон движения точки по прямой как зависимость пройденного пути s от времени t. Пусть к моменту времени t ₀ пройденный путь равен s ₀ = f (t ₀), а к моменту t ₀ + Δ t он равен s = f (t ₀ + Δ t). Тогда за промежуток Δ t пройден путь Δ s = s – s ₀, а средняя скорость за время Δ t есть отношение . Предел этого отношения при Δ t → 0, т.е.

определяет мгновенную скорость точки в момент времени t ₀ как производную пути по времени.

Теорема 2. Скорость движения материальной точки в любой момент времени t = t ₀ равна производной от пути s по времени t в момент времени t = t ₀.

Если у = f (х) – произвольная функция, то.

В последней дроби знаменатель Δ х показывает, на сколько изменилось значение аргумента х, а числитель Δ y – на сколько при этом изменилось значение функции у = f (х). Тогда отношение Δ y/ Δ х показывает, на сколько быстро изменяется функция y относительно изменения ее аргумента x. Т.е. Δ y/ Δ х есть средняя скорость изменения функции у = f (х) относительно изменения ее аргумента x. В пределе при Δ х →0 получается

Теорема 3. Производная функции f  (х ₀) равна скорости изменения функции у= f (х) в точке х ₀ относительно изменения ее аргумента x.

Пример 1. Рассмотрим физический смысл производной функции у = х ² в точке x ₀ = 1.

Решение. Т.к. , то в точке x ₀ = 1 функция у=х ² изменяется приближенно в 2 раза быстрее, чем в этой точке изменяется ее аргумент х.

Т.е. если в точке x ₀ = 1 аргумент х увеличить на «малую» единицу, то в соответствующей точке у ₀ = 1 значение функции приближенно увеличиться на 2 «малые» единицы.

Рис.6

Пример 2. Рассмотрим физический смысл производной функция спроса

в точке p= 1.

Решение. Имеем D (1)=6 и это означает, что по цене p= 1 ден.ед. потребители хотят и в состоянии приобрести 6 ед.товара. Легко подсчитать, что

Т.о. скорость изменения спроса по сравнению с изменением цены равна –3 ед.товара на 1 ден.ед. Поэтому при p= 1 ден.ед. по сравнению с увеличением цены спрос падает в 3 раза быстрее, чем растет цена.

Пример 3. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону S = S (t) = – t ²+4 t +5, где S – высота подъема, t – время движения. Требуется найти:

1) скорость движения тела в начальный момент времени;

2) скорость тела в момент соприкосновения с землей;

3) наибольшую высоту подъема;

4) высоту, с которой выпущено тело.

Решение. 1) Скорость движения Значит скорость движения тела в начальный момент времени v (0) = 4 м/с.

2) В момент падения высота S (t) = 0, т.е. – t ²+4 t +5=0. Решив квадратное уравнение, найдем его корни t ₁ = -1, t ₂ = 5. Поскольку время не может быть отрицательным, момент соприкосновения тела с землей t = 5 с. Поэтому скорость тела в момент соприкосновения с землей v (5) = –6 м/с.

Рис.7

3) Наибольшая высота подъема тела будет достигаться в тот момент времени t, когда скорость v (t) = 0 (в наивысшей точке тело останавливается). Поэтому –2 t + 4 = 0. Отсюда t = 2 с. и S _max = S (2) = 9 м.

4) В начальный момент времени t = 0 с. Поэтому тело выпущено с высоты S (0) = 5 м.

---

Дата добавления: 2015-11-26