Задачи для самостоятельной работы

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Вычисление пределов последовательностей и функций.

Пусть задана функция . Если при неограниченном приближении к соответствующие значения функции неограниченно близко приближаются к числу А, то говорят, что функция имеет предел и пишут . При вычислении предела надо в функцию подставить .

Пример. Вычислить предел функции.

1) 2)

Функция называется бесконечно большой (б.б.), если .

Функция называется бесконечно малой (б.м.), если .

Пусть , тогда и Эти правила для краткости можно записать следующим образом:

Пример. Вычислить предел функции.

1) 2)

При вычислении пределов после подстановки может получиться:

. Эти выражения называются неопределенностью. Для каждого вида неопределенности существует свой способ «раскрытия».

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности достаточно сравнить степени числителя и знаменателя по простому правилу:

Пример. Вычислить предел функции.

1)

2)

3)

4)

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности надо сократить дробь.

В некоторых случаях надо использовать таблицу эквивалентностей.

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если . Обозначение Приведем основные эквивалентности.

При верно:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Пример. Вычислить предел функции.

1)

2)

3)

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности надо преобразовать выражение так, чтобы получилась неопределенность вида . Например, привести к общему знаменателю.

Пример. Вычислить предел функции.

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности применяется второй замечательный предел:

Пример. Вычислить предел функции.

1)

2)

3)

Задание 1. Вычислить пределы функций.

1)

2)

3)

Задание 2. Вычислить предел функции.

Задание 3. Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.

1)

2)

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. Вычислить пределы.

Вариант 1. 1) 2) 3)

Вариант 2. 1) 2) 3)

Вариант 3. 1) 2) 3)

Вариант 4. 1) 2) 3)

Вариант 5. 1) 2) 3)

Вариант 6. 1) 2) 3)

Вариант 7. 1) 2) 3)

Вариант 8. 1) 2) 3)

Вариант 9. 1) 2) 3)

Вариант 10. 1) 2) 3)

Задание 2. Вычислить предел функции.

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Задание 3. Вычислить пределы функций.

Вариант 1. 1) 2)

Вариант 2. 1) 2)

Вариант 3. 1) 2)

Вариант 4. 1) 2)

Вариант 5. 1) 2)

Вариант 6. 1) 2)

Вариант 7. 1) 2)

Вариант 8. 1) 2)

Вариант 9. 1) 2)

Вариант 10. 1) 2)

Дата добавления: 2015-11-26