Читайте также:
|
Углом между кривыми на плоскости в их общей точке 
называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым 
и 
, соответственно 
и 
, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:
Задание. Найти тангенс угла между кривыми 
и 
в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.
Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:
Таким образом, искомая точка 
.
Далее находим производные заданных функций в найденной точке:
Итак, искомый тангенс:
Производные высших порядков
Если функция 
имеет производную в каждой точке 
своей области определения, то ее производная 
есть функция от . Функция 
, в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом 
. Таким образом
Монотонность функции и ее связь с производной
Функция называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.
Пример
Функция 
является возрастающей на промежутке 
, так как:
для 
Функция 
называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.
Пример
Функция является строго убывающей на промежутке 
, так как:
для 
Функция строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.
Функция называется неубывающей на промежутке, если из неравенства 
следует неравенство 
.
Функция называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство 
.
Теорема Если производная функции 
на некотором промежутке 
, то функция возрастает на этом промежутке; если же 
на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.
Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то 
или не существует.
Задание. Исследовать функцию 
на монотонность на всей числовой прямой.
Решение. Найдем производную заданной функции:
Для любого действительного : 
, а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.
Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 120 | Нарушение авторских прав