Направление выпуклости кривой. Точки перегиба

Читайте также:

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой вниз в этом интервале.

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление ее выпуклости.

Рис. 19

На рис.19 в интервале кривая выпукла вверх, в интервале она выпукла вниз, а точка B есть точка перегиба.

Иногда кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, то кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема Пусть кривая определяется уравнением y = f (x). Если вторая производная f ¢¢(a) = 0 или f ¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f ¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Итак, направление выпуклости кривой характеризуется знаком второй производной : если в некотором интервале , то кривая выпукла вниз, а если , то кривая выпукла вверх в этом интервале.

Абсциссы точек перегиба кривой можно найти по следующему правилу:

1. Найдем и точки , в которых или не существует.

2. Определим знак слева и справа от каждой из этих

точек. Исследуемая точка будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нее имеет разные знаки.

Пример. Определить направление выпуклости и точки перегиба кривой .

Решение.

1. Областью определения функции является вся числовая прямая.

2. Найдем .

; .

3. Решим уравнение .

4. Определим знак производной слева и справа от точек .

В интервале кривая выпукла вверх, следовательно, х ₁=0 не является точкой перегиба.

В интервале кривая выпукла вниз, т.е. х ₂=1 является точкой перегиба. Координаты точки перегиба (1; 2). (у (1)=2).

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

АСИМПТОТЫ.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.