Читайте также:
|
Задача №1. Вычислить предел числовой последовательности.
Решение: При n→ 
в числителе и знаменателе дроби бесконечно большие величины образуют неопределённость 
. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень целочисленной переменной n, в данном случае на n2, получим:
Задача №2. Вычислить придел числовой последовательности
Решение: При 
под знаком предела имеемнеопределённость 
. Умножим и разделим на сопряжённое 
, получим
т. к. 
и 
при 
стремятся к 0
Задача №3. Вычислить предел числовой последовательности 
Решение:
т.к. 
и 
при стремятся к 0. Здесь мы воспользовались вторым замечательным пределом: 
.
Задача №4. Доказать ( найти 
), что 
Решение: Воспользуемся определением предела функции у=f(x) в точке х0. Функция у=f(x) имеет число А своим пределом при х 
, если для любого сколь угодно малого положительного числа 
найдётся (мы найдём, укажем) такое число 
, вообще говоря зависящее от 
, 
, что как только выполняется 
, будет 
. В нашей задаче 
, 
, 
. Наша задача: найти такое 
, чтобы из неравенства 
следовало неравенство 
Т.к 
то мы выбираем для любого 
число 
и, следуя по цепочке наших неравенств в обратном направлении, получаем решение поставленной задачи по определению.
Ответ: при любого 
следует взять 
.
Задача №5. Вычислить предел функции 
Решение:
Задача №6. Вычислить предел функции. 
Решение:
Задача №7. Вычислить предел функции. 
Решение: 
Использованы формулы - следствия из первого и второго замечательного предела: 
; 
Задача №8. Вычислить предел функции 
Решение: 
Использована формула - следствие из первого замечательного предела
Задача №9. Найти производную функции 
Решение: Применим формулу производной дроби
Ответ: 
Задача №10. Найти производную функции 
Решение: Применим формулу производной дроби 
Задача №11. Найти производную функции 
Решение: Применим формулу производной сложной функции 
Теперь найдём у/
Ответ: 
Задача №12. Найти производную функции 
Решение: Сначалапреобразуем второе слагаемое в данной функции
Ответ: 
Задача №13. Найти производную функции 
Решение:
Ответ: 
Задача №14. Найти производную функции 
Решение: 
Ответ: 
Задача №15. Найти дифференциал dy, если 
Решение: 
Ответ: 
Задача №16. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
, х=1,58
Решение: Воспользуемся формулой: 
У нас х=1,5; х+ 
; , 
; 
;
. И так, 
Ответ: 
Задача №17. Написать уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке х0 
Решение: Найдем 
и воспользуемся формулами уравнений искомых прямых: касательной 
и нормали 
; 
. Уравнение касательной: 
или 
. Уравнение нормали: 
или 
Ответ: 
Задача №18. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 
в точки 
.
Решение: Воспользуемся уравнениемкасательной 
и нормали 
к кривой в точке х0.
У нас 
; 
; 
. Таким образом, уравнение касательной будет иметь вид: 
или 
. Уравнение нормали будет таким: 
или 
.
Ответ: 
Задача №19. Найти уIV функции 
Решение: Найдём последовательно 
упростив функцию 
Ответ: 
.
Задача №20. Найти производную второго порядка 
от функции, заданной параметрический 
Решение: вычислим 
, затем найдём по правилу: 
Задача №21. Исследовать функцию 
и построить её график.
Решение:
1. Область существования вся числовая ось кроме т. 
.
2. Функция терпит разрыв в т. . Исследуем точку разрыва.
Т. – точка разрыва 2- го рода.
3. При 
В 
в 
4. Так как 
, 
, 
, то 
- функция общего вида.
5. Определим участки возрастания, убывания, экстремумы.
Найдем критические точки:
а) 
б) 
не существует в т. 
1
Следовательно, критические точки 
.
Найдем участки возрастания и убывания .
Знак совпадает со знаком 
, т.е. необходимо решить неравенство 
. Корни квадратного уравнения 0 и 2, а коэффициент у 
положительный. Следовательно,
Имеем
а) 
в 
- в убывает;
б) 
в 
и 
- в и возрастает;
в) при переходе через 
меняет знак с + меняет знак -, при переходен через 
- с - на +, при переходе через 
- знак не меняет.
Следовательно, в т. знак не менее.
Следовательно в т. 
, в т. 
В т. экстремума нет.
6. Найдем участки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Знак 
совпадает со знаком (х-1). Следовательно,
а) 
в 
. В - выпукла;
б) 
в 
. В - вогнута;
в) В т. Х=1 не существует. При переходе через х=1 меняет знак с – на +. Следовательно точка перегиба.
7. Найдем асимптоты.
А) Вертикальная асимптота – .
Б) наклонная асимптота 
,
Следовательно 
- асимптота при 
и при 
.
Рисунок 7
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав