Производная. Приложение производной к исследованию функций.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.Пусть даны комплексные числа: z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i, тогда:

z_{1 +} z₂ = (а₁ + а₂) + (в₁ + в₂)i

z₁ - z₂ = (а₁ - а₂) + (в₁ - в₂)i

z₁ z₂ = а₁ а₂ + а₁ в₂ i + а₂ в₁i +в₁ в₂i², где i² = -1.

для того, что бы разделить два комплексных числа, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое знаменателю.

2.Сопряжённые комплексные числа отличаются друг от друга знаком перед мнимой частью: z = a + bi и z = a - bi

3.Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

az² + bz + c = 0

D =

Решить квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом:

1. х² + 16=0

х² = - 16

x =

2. х² - 2х + 10 = 0

D = 4 – 40 = -36

x₁ = = 1 + 3i

x₂ = = 1 - 3i

3. ПУСТЬ Х₁ = 2 + 3i, Х₂ = 2- 4i, НАЙТИ: 1.Х₁ + Х₂ 2. Х₁ - Х₂ 3. Х₁ Х₂ 4.

1)Х₁ + Х₂ = 4 - i

2)Х₁ - Х₂ = 7i

3)Х₁ Х₂ = 4 – 8i + 6i – 12i² = 4 – 8i + 6i +12 = 16 – 2i

4 = = = = = -0,4 + 0,7i

ПРЕДЕЛЫ

ПРЕДЕЛ В ТОЧКЕ.

НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ ВИДА:

1). Если степень числителя выше степени знаменателя, то предел равен .

2). Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел равен нулю.

3). Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

1). = - 2). = 0 3). =

НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ ВИДА:

Чтобы устранить неопределённость данного вида необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на х – а, где а – это то число, к которому стремится х.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ: .

1). (домножим числитель и знаменатель на 3) =

=

2).

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ: е

1). (делим числитель и знаменатель на 3) =

= = е

ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ.

ФОРМУЛЫ	Определение. Производной функции f(x) в точке хо называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при : f (x) =
1. С^/ = 0 2. (КХ)/ = К 3. (КХ+В)/ = К 4. (U+V)^/ = U^/+V^/ 5. (U-V)^/ = U^/-V^/ 6. (UV)^/ =U^/V+V ^/U (КU)^/ = К(U)/ 7. ()^/ = 8. = 9.(sinx)/ = cosx 10. (COSX)/ = -SINX 11. (tgx)/ = 12. (ctgx)/ = -	13.(logax)/ = 14.(lnx)/ = 15.(lgx)/ = 16.( 17.(а^х)^/ = a^xlna 18.(arctgx)^/= 19. (arcctgx)^/= - 20. (arcsinx)^/ = . 21.(arccosx)^/ = -
Физический смысл производной. V = S' a = V'= S''
Геометрический смысл производной. к = tg = f'(x0)
Уравнение касательной y-y0 = f'(x0)(x-x0)
Уравнение нормали y-y0 = - (x-x0)
Условия параллельности прямых: к1 = к2 перпендикулярности прямых: к1к2 = -1
Монотонность функции. 1.Найти область определения функции. 2.Найти производную функции. 3.Найти корни производной и точки, в которых производная не существует. 4.Наносим полученные точки на область определения функции. 5.Определяем знаки производной в каждом из полученных промежутков. 6.а) Если производная положительна на промежутке (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в). б) Если производная отрицательна на промежутке (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).
Наибольшее и наименьшее значения функции. 1.Найти производную функции. 2.Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. 3.Проверить, какие из точек принадлежат данной области определения. 4.Найти значения функциив точках, принадлежащих области определения и на концах отрезка. 5.Из полученных результатов выбрать наибольшее и наименьшее.
Экстремумы функции. Выполнить все пункты предыдущего алгоритма. 7.Если при переходе через точку х0 производная изменяет свой знак с «-» на «+», то точка х0 – точка минимума. Если при переходе через точку х0 производная изменяет свой знак с «+» на «-«, то х0 – точка максимума. 8.Чтобы найти экстремумы, необходимо найти значения функциив точках экстремумов.	План исследования функции. 1. Находим область определения функции. 2.Исследуем функцию на чётность-нечётность и периодичность. 3.Находим точки пересечения графика с осями координат. 4. Находим промежутки возрастания и убывания функции. 5.Определяем экстремумы функции. 6. Определяем промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба. 7. Дополнительные точки. 8. Строим график.
Выпуклость графика функции. 1.Найти область определения функции. 2.Найти производную функции. 3. Найти вторую производную функции 3.Найти корни второй производной и точки, в которых вторая производная не существует. 4.Наносим полученные точки на область определения функции.5.Определяем знаки второй производнойв каждом из полученных промежутков.6.а) Если вторая производная положительна на промежутке (а; в), то график функции имеет выпуклость вниз на промежутке (а; в). б) Если вторая производная отрицательна на промежутке (а; в), то график функции имеет выпуклость вверх на промежутке (а; в). 7. Точки, отделяющие выпуклую часть от вогнутой – точки перегиба. Найти значения функции в точках перегиба.
Замечания.   1. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. 2.График чётной функции симметричен относительно оси OY. 3. График общего вида не имеет симметрии (собственная ось симметрии в расчёт не принимается).

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Дата добавления: 2015-11-26