Достаточные условия оптимальности

Рассмотрим вспомогательную задачу оптимизации, решение которой будет использоваться в дальнейшем.

Пусть задан функционал

(4.1)

где вектор состояния системы;

вектор управления, на которые наложены условия.

На векторы и наложены условия

Требуется отыскать минимальное значение функционала (4.1) при заданных ограничениях.

Эту постановку можно рассматривать как частный вариант задачи оптимального управления в тривиальном случае, когда среди ограничений, определяющих множество М допустимых процессов, отсутствуют уравнения процесса.

В данной задаче нетрудно получить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять оптимальное решение минимизирующее функционал (4.1). Эти условия можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 4.1. Для того чтобы процесс был оптимальным, т. е. минимизировал функционал (4.1), необходимо и достаточно, чтобы при всех

(4.2)

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть ­ – оптимальный процесс, т.е. удовлетворяющий условию (4.1). Это значит, что

(4.3)

при Требуется доказать, что он удовлетворяет и условию (4.2).

Допустим противное: имеется такое , при котором условие (4.2) не выполняется. Это означает, что при существует такое значение , что

. (4.4)

Рассмотрим новый процесс , который определим так:

при и при .

Вычислим значение функционала (4.1) J на этом процессе:

.

Разбив выражение (4.1), для аналогичным образом получим

.

Сравним теперь правые части двух последних неравенств. Первые два слагаемые в них совпадают, а третьи удовлетворяют сделанному предположению (4.4). Следовательно,

,

что противоречит условию (4.3) оптимальности процесса .

Необходимость доказана.

2. Достаточность. Пусть процесс удовлетворяет теореме 4.1. Требуется доказать, что для него будет выполнено и условие (4.1), т.е. этот процесс будет оптимальным.

Рассмотрим произвольный допустимый процесс . Тогда из (4.2) можно установить, что при

Складывая эти неравенства почленно, получим

.

Левая и правая части в этом неравенстве – это значение функционала (4.1) для процессов и , т.е. , откуда вследствие произвольности процесса и вытекает условия (4.1) для процесса , который, следовательно, и является оптимальным.

Достаточность доказана.

Изложенная теорема сводит решение поставленной задачи (4.1) к минимизации функции при по переменным на множестве . При этом существование минимума функции при есть необходимое и достаточное условие существования решения задачи (4.1).

Отметим, что условия теоремы могут быть аналогично сформулированы и для задачи максимизации функционала, если перед ним поставить знак «минус», провести соответствующие переобозначение функций под знаком суммы и результат устремить к минимуму.

Теорема 4.1 может быть обобщена и на непрерывный случай, когда функционал задается соотношением

. (4.5)

Однако формулировка теоремы в этом случае нуждается в уточнении. Что касается достаточности условия (4.2), то и в непрерывном случае это остается справедливым. Необходимым же это условие, вообще говоря, не является, что показывает следующий пример.

Рассмотрим функционал

, (4.6)

заданный на множестве кусочно-непрерывных функций , удовлетворяющий ограничению . Так как вследствие указанного ограничения при всех ,то, очевидно, и значение J не может быть меньше единицы. Таким образом, если при некотором будет достигнуто значение , то можно сделать вывод, что функционал (4.6) достигает минимального значения.

Возьмем в качестве следующую функцию:

Очевидно, что при этом значение . Следовательно, минимизирует функционал J. Но данная функция, как легко видеть, не минимизирует подынтегральную функцию в функционале (4.6) при всех . В частности, этого не происходит при , где значение . Подынтегральную функцию минимизирует значение .

Таким образом, в данном примере необходимость условия теоремы не выполняется.

Для того чтобы условие теоремы в непрерывном случае стало не только достаточным, но и необходимым, его нужно уточнить.

А именно нужно потребовать, чтобы оно выполнялось не обязательно в каждой точке интервала , а за исключением, может быть, точек, значение функции в которых не влияет на величину интервала (4.5).

Возможен и другой путь. Если дополнительно наложить требование непрерывности на процесс и на функцию , то формулировка теоремы в непрерывном случае сохраняется дословно с заменой соотношения (4.1) на (4.5). Однако требование непрерывности является слишком сильным в задачах ТОУ и не выполняется даже в простейших случаях.

Дата добавления: 2015-11-26