Лабораторная работа № 2. Тема работы: построение кривой нормального распределения по опытным данным

Тема работы: построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки.

Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической и теоретической (нормальной) кривой распределения; выработка умения и навыков применения критериев согласия для проверки выдвинутой статистической гипотезы.

Дано: Продолжим вероятностно-статистическую обработку результатов эксперимента, предложенных в лабораторной работе № 1, то есть себестоимости 1 детали (в руб.). За основу берем дискретный вариационный ряд представленный в таблице 3 и значения x̄ = 83,8 руб., S=7,116.

Содержание работы: на основе дискретного вариационного ряда, полученного

в лабораторной работе № 1, выполнить следующее:

1. Построить эмпирическую (полигон) и теоретическую (нормальную) кривую распределения.

2. Проверить согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным, применяя 5 критериев.

Выполнение работы:

1. Для построения теоретической (нормальной) кривой найдем координаты точек , для чего рассчитаем теоретические частоты .

Значения функции ϕ(u_i) определяем по приложению 1 учебного пособия «Статистические методы решения инженерных задач» под редакцией В. И. Губина, В. Н. Осташкова.

Расчеты сведены в таблицу 6.

Таблица 6 - Расчет теоретических частот.

xi	ni	xi-x̄	ui	φ(ui)	yi	n'i
		-11,68	-1,64	0,1040	3,7999
		-9,68	-1,36	0,1582	5,7802
		-7,68	-1,08	0,2227	8,1369
		-5,68	-0,80	0,2661	9,7226
		-3,68	-0,52	0,3485	12,7333
		-1,68	-0,24	0,3876	14,1619
		0,32	0,04	0,3999	14,6098
		2,32	0,33	0,3778	13,8038
		4,32	0,61	0,3312	12,1012
		6,32	0,89	0,2685	9,8103
		8,32	1,17	0,2012	7,3513
		10,32	1,45	0,1394	5,0933
		12,32	1,73	0,0893	3,2628

1.2. По данным из лабораторной работы №1 значениям x_i и n_i и рассчитанным теоретическим частотам n'_i строим эмпирическую и теоретическую кривые, представленные на рисунке 4.

Рисунок 4 - Теоретическая и эмпирическая кривые.

2. Проверим согласованность эмпирического распределения с теоретическим по 5 критериям.

2.1. Проверим согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным по критерию Пирсона.

2.1.1. Вычислим точки распределения (χ₀²) по формуле:

2.1.2. Составим расчетную таблицу 7 для нахождения χ₀².

Таблица 7 - Расчет точки распределения.

ni	n΄i	ni-n΄i	(ni-n΄i)^2	(ni-n΄i)^2/ n΄i
		-2		1,0526627
				1,5570359
				1,1060758
				0,1028532
				0,005587
		-2		0,2824482
				2,4640932
		-3		0,6519933
		-1		0,100205
				0,0036687
				0,13603
				0,0017095
				2,7583771
χ0^2	10,22

2.1.3. Находим число степеней свободы k по формуле:

где s - число интервалов вариационного ряда, r - сумма числа параметров теоретического закона распределения. Для нормального распределения признака Х принято .

k = 13 - 3 = 10

Выбираем уровень значимости . По таблице критических точек распределения (Приложение 5 учебного пособия «Статистические методы решения инженерных задач» под редакцией В. И. Губина, В. Н. Осташкова) находим . Т.к. , то делаем вывод, что данные выборки, характеризующие себестоимость 1 детали, не подчиняются нормальному закону распределения по критерию Пирсона.

2.2. Проверим согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным по критерию Романовского.

2.2.1. Вычислим отношение:

2.2.2. Т.к. 0,05 < 3 то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно, что позволяет утверждать, что данные выборки, характеризующие себестоимость 1 детали по критерию Романовского подчиняются нормальному закону распределения.

2.3. Проведём проверку близости рассматриваемой выборки к нормальному распределению по приближенному критерию, используя выборочные статистики: асимметрию, эксцесс и их средние квадратические отклонения.

2.3.1. Средние квадратические отклонения для асимметрии и эксцесса находим по формулам:

2.3.2. Т.к. , < As, Es то делаем вывод, что данные выборки, характеризующие себестоимость 1 детали по приближенному критерию не подчиняются нормальному закону распределения.

2.4. Проведём проверку близости рассматриваемой выборки к нормальному распределению по критерию Колмогорова.

2.4.1. Вычисляем статистику (λ) критерия Колмогорова по формуле:

где — максимум абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретическими частотами , n — объем выборки.

2.4.1.1. М и М' - накопленные эмпирическая и теоретическая частота т.е M=Wi - это накопленная эмпирическая частота которая берется из лабораторной работы №1. Для нахождения накопленных теоретических частот составим аналогичную таблицу как из лабораторной работы №1.

ωi'=ni'/n

W_i' = W_i'_–1 + ω_i'

Таблица 8 - Расчет статистики.

xi	ωi	Wi	ωi'	Wi'	|Wi-Wi'|
	0,02	0,02	0,03	0,03	-0,01
	0,07	0,08	0,04	0,07	0,01
	0,08	0,17	0,06	0,14	0,03
	0,08	0,25	0,07	0,21	0,04
	0,10	0,35	0,10	0,31	0,04
	0,09	0,45	0,11	0,42	0,03
	0,16	0,61	0,11	0,53	0,08
	0,08	0,69	0,11	0,64	0,06
	0,08	0,78	0,09	0,73	0,05
	0,08	0,85	0,08	0,81	0,05
	0,06	0,92	0,06	0,86	0,05
	0,04	0,95	0,04	0,90	0,05
	0,05	1,00	0,03	0,93	0,07

Максимальным значением разности накопленных эмпирических и теоретических частот в данном случае является число D=0,08, а λ=0,9.

2.4.2. По вычисленному согласно таблице 14 на стр.40 учебника под редакцией В.И.Губина, В.Н.Осташкова «Статистические методы решения инженерных задач» находим значение функции К(λ). К(λ)=0,3927.

2.4.3. т.к. вероятность К(λ)>0,05, то расхождение между частотами может быть случайным, и теоретические и эмпирические распределения хорошо соответствуют одно другому. Следовательно выборка подчиняется нормальному закону распределения по Колмогорову.

2.5. Проведём проверку близости рассматриваемой выборки к нормальному распределению по критерию Б.С.Ястремского.

2.5.1. Составим неравенство:

где =13 - число вариант дискретного вариационного ряда.

2.5.1.1. Для нахождения значения «с» составим таблицу 9.

Таблица 9 - Расчет значения «с».

			0,0292299	0,9707701	-2		3,688817	1,084358
			0,04446318	0,9555368			5,523207	1,629488
			0,06259134	0,9374087			7,627577	1,179929
			0,07478921	0,9252108			8,995452	0,111167
			0,09794829	0,9020517			11,48607	0,006194
			0,10893761	0,8910624	-2		12,61913	0,316979
			0,11238336	0,8876166			12,96793	2,776078
			0,10618325	0,8938168	-3		12,33809	0,729449
			0,093086	0,906914	-1		10,97473	0,11049
			0,07546374	0,9245363			9,069966	0,003968
			0,05654862	0,9434514			6,935614	0,144183
			0,03917931	0,9608207			4,893758	0,001779
			0,02509837	0,9749016			3,180897	2,82939
							с

2.5.2. Т.к. 2 < 16 то данные выборки, характеризующие себестоимость 1 детали, подчиняются нормальному закону распределения по Ястремскому.

Вывод: Для проверки согласованности эмпирического распределения с теоретическим нормальным мы применили 5 критериев, 3 из них подтвердили близость выборочной совокупности к нормальному распределению. Однако, учитывая, что критерий Колмогорова является более мощным, чем критерий Пирсона, и подтверждает близость рассматриваемой выборки к нормальному распределению, окончательно заключаем, что за закон распределения признака Х - себестоимости 1 детали - можно принять нормальное распределение.

Дата добавления: 2015-11-26