Критерий устойчивости Гурвица

Читайте также:

Анализ устойчивости АСР. Критерии устойчивости.

Как известно, для устойчивости звена (или системы) необходимо и достаточно что бы корни характеристического полинома D_З(s) имели отрицательные действительные части (были «левыми»).

Корневой критерий устойчивости:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома имели отрицательные действительные части

, для i =1,…, n.

Однако определение устойчивости по корням не всегда удобно, особенно для систем высокого порядка. Но главное даже не в этом. По корням не устойчивой системы нельзя определить, как нужно изменить параметры, чтобы она стала устойчивой.

Есть проблемы и в определении устойчивости систем с запаздыванием

Для оценки устойчивости разработаны специальные критерии устойчивости – методы или алгоритмы, позволяющие оценить устойчивости без вычисления корней характеристического полинома.

Большинство критериев устойчивости позволяют оценить устойчивости без вычисления корней характеристического полинома.

Большинство критериев устойчивости позволяют исследовать влияние параметров системы на ее устойчивость.

История:

Гурвиц 1895

Раус 1878

Найквист 1932

Михайлов 1938

Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Стодолы

Обозначим характеристический полином системы

, а его корни .

Необходимое условие устойчивости:

Если система устойчива, то коэффициенты характеристического полинома больше нуля

, для i =0,…, n.

Если коэффициенты положительны, то системы может быть как устойчива, так и неустойчива.

Пример.

– система неустойчива так как

– система на границе устойчивости

Критерий устойчивости Гурвица

Пусть задан характеристический полином замкнутой АСР (или отдельного звена)

Для оценки устойчивости составим из коэффициентов D(s) определитель (матрицу) Гурвица n-ого порядка

Правило построения определителя видно из таблицы. Сначала заполняются первые две строки определителя, остальные получаются сдвигом двух предыдущих на одну позицию вправо. Свободные места заполняются нулями.

Введем в рассмотрение диагональные определители – определители меньшего i-ого порядка расположенные на главной диагонали (выделены пунктиром).

Условия устойчивости по критерию Гурвица.

Система устойчива, если положительны свободный член , коэффициент при старшей степени D(s) и диагональные определители Гурвица, то есть

, , , ,…, .

Таким образом, условие устойчивости сводится к выполнению (n+1) неравенства.

Последний определитель считать не нужно. Раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем

Если и , то и .

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то система не устойчива.

Граница устойчивости определяется из условия .

Система на границе устойчивости, если , , а остальные условия выполняются.

При система имеет нулевой корень . Такая граница устойчивости называется апериодической.

Если , то полином имеет пару чисто мнимых корней . Граница устойчивости называется колебательной.

Рассмотрим частные случаи.

1. n=1

Условия устойчивости

сводятся к положительности коэффициентов.

2. n=2

Условия устойчивости

, ,

сводятся к положительности коэффициентов.

3. n=3

Условия устойчивости

, , , .

Таким образом, для системы 3-его порядка положительности коэффициентов не достаточно для устойчивости. Требуется выполнение дополнительного условия, которое удобно сформулировать следующим образом:

Произведение средних коэффициентов D(s) больше произведения крайних

Как видно из уравнения, для обеспечения устойчивости коэффициенты и необходимо увеличивать, а и наоборот уменьшать.

Замечание. Можно показать (критерий Стодолы) что, если система устойчива, то коэффициенты D(s) положительны. Обратное утверждение, к сожалению, неверно.

Понятие критических параметров.

Параметры системы, при которых она находится на границе устойчивости, называются критическими.

Особую роль играет критический коэффициент усиления разомкнутой системы K_кр.

9.3 Пример исследования устойчивости замкнутой АСР по критерию Гурвица.

Характеристический полином замкнутой АСР имеет вид