Решение задачи Коши для системы ОДУ первого порядка и уравнений высших порядков

2.1. Система двух уравнений первого порядка. Рассмотрим алгоритмы Рунге-Кутта решения задачи Коши для систем ОДУ на примере системы двух уравнений:

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по независимой переменной , и - начальные значения соответственно неизвестных функций и .

Методы Эйлера, описанные в подразделах 1.1. и 1.2., переносятся на случай системы (2.1) очевидным образом. Приведём формулы метода Эйлера, аналогичные формулам (1.3):

Модифицированный метод Эйлера для системы (2.1) даёт:

Формулы алгоритма Рунге-Кутта 4 порядка [5], которые обобщают формулы (1.8) для системы (2.1), запишем в виде:

Наконец, приведём выражения метода прогноза и коррекции, обобщающие формулы (1.14), (1.15) и (1.18) для системы (2.1):

Уточним, что первая пара формул (2.5) отвечает за прогноз на текущем шаге, вторая пара – за коррекцию, а третья пара – за окончательные (уточнённые) значения неизвестных функций на этом шаге. Кроме того, к этой группе формул нужно добавить ещё две, позволяющие начать алгоритм – либо находясь в начале процесса, либо в случае, когда приходится менять его шаг.

2.3. Решение задачи о падении тел. В качестве примера реальной физической проблемы, которая моделируется системой ОДУ, изучим задачу о падении тел [4], причём будем рассматривать двумерные траектории. Введём систему координат xoy, ось oy направим вертикально вверх. Рассмотрим тело массой с начальной скоростью , направленной под углом к горизонту. На это тело (материальную точку) действуют сила тяжести и тормозящая сила , направленная в сторону, противоположную направлению скорости (здесь черта сверху обозначает векторную величину; ниже через и обозначим модуль соответствующего вектора). Уравнения движения тела на основании второго закона Ньютона можно записать в виде

Здесь принято, что тормозящая сила пропорциональна квадрату скорости движения тела; считается, что коэффициент зависит от свойств среды и геометрии тела; и - мгновенные координаты тела. Подставляя выражение для силы из (2.8) в (2.6), (2.7), учитывая равенства , и обозначение , уравнения (2.6) и (2.7) перепишем в виде

Систему уравнений (2.9), (2.10) дополним начальными условиями

Начальные значения для второй пары условий (2.11) вычисляются через указанные выше величины по формулам , .

Задачу (2.9)-(2.11) можно решать при помощи формул метода Рунге-Кутта. Но мы применим обобщение метода прогноза-коррекции. Для компактности записи введём обозначения

Используя обозначения (2.12), задачу Коши (2.9)-(2.11) перепишем в виде

Для вычисления значений неизвестных функций на первом шаге используем формулы модифицированного метода Эйлера:

Далее при вычислении значений неизвестных на следующих шагах используются собственно формулы прогноза и коррекции. Для значений прогноз даётся формулами

Эти выражения аналогичны формулам (1.14) и (2.5). Коррекция значений , , , производится по формулам, аналогичным (1.15):

На каждом шаге решения требуется, чтобы итерации для функций и и связанных с ними и проводились по очереди.

Отметим также, что окончательные значения неизвестных функций на каждом шаге следует вычислять аналогично (1.18) по формулам:

2.5. Решение задачи Коши для ОДУ высших порядков. Всякое ОДУ высокого порядка может быть (при помощи замен производных на новые неизвестные функции) приведено к системе ОДУ первого порядка, методы решения которой рассмотрены выше. Применим данный подход к задаче Коши для ОДУ 2 порядка (задачи Коши для ОДУ более высоких порядков обрабатываются аналогично):

Введём новую неизвестную функцию при помощи замены . Тогда задачу (2.17) можно переписать в следующем виде:

Запишем расчётные формулы методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка (т.е. соотношения (2.2), (2.3) и (2.4)) для системы (2.18). Метод Эйлера даёт:

Модифицированный метод Эйлера приводит к соотношениям:

После очевидных преобразований формулы метода Рунге-Кутта 4 порядка можно привести к виду:

2.7. Решение задачи о колебаниях маятника. Данная задача моделируется следующей задачей Коши [6]:

Здесь - длина маятника; - неизвестная функция, относительно которой решается задача (2.17), – это угол между маятником и вертикальной осью; - ускорение силы тяжести; - коэффициент трения среды, в которой колеблется маятник; и - начальные значения соответствующих функций. Задача Коши (2.22) для ОДУ 2 порядка приводится к задаче Коши для системы двух ОДУ 1 порядка вида (2.18) при помощи следующих замен неизвестных, функций и производных:

Мы уже поднимали вопрос, каким образом при исследовании реальной задачи Коши без известного ответа можно убеждаться в том, что получаемое решение является верным. Указывались два пути: уменьшение шага разбиения отрезка интегрирования (при этом, даёт нам теория методов, погрешность на шаге должна убывать) и решение разными методами. Есть ещё один путь. Он состоит в следующем. Многие задачи имеют естественнонаучное происхождение. Поэтому в процессе решения такой задачи представляется полезным и важным выделить её характерный «физический» параметр и следить за его поведением. Если оно является ожидаемым, то можно надеяться на правильность получаемого решения. На практике полезно применять все три вышеназванных подхода.

В задаче о колебаниях маятника естественным физическим параметром является его полная энергия , которая вычисляется как сумма кинетической и потенциальной энергии [4]:

Здесь - масса груза. Следует вычислять полную энергию по формуле (2.23) на каждом шаге интегрирования задачи Коши и, в случае отсутствия трения среды (), следить за тем, меняется или нет её значение. Если не меняется (точнее – «колеблется» около её начального значения), то вычислительный процесс является физически адекватным реальности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебно-методическом пособии представлены методы Рунге-Кутта и прогноза-коррекции решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого и второго порядков и системы ОДУ первого порядка. Рассмотрены теоретические и практические примеры по каждой из изучаемых тем, в т.ч. приведены листинги программ на языке программирования C/C++ и в среде пакета аналитических вычислений Maple. В приложениях даны варианты задач Коши для индивидуального программирования студентами на аудиторных или самостоятельных практических занятиях. Отмечено, что представленные алгоритмы автоматически переносятся на задачи Коши для ОДУ или для систем ОДУ более высокого порядка. Данное учебно-методическое пособие может быть использовано в учебном процессе как для самостоятельной работы студентов, так и под наблюдением преподавателя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Д. Мак-Кракен, У. Дорн. Численные методы и программирование на Фортране. М.: «Мир», 1977.

2. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г Компьютер в математическом исследовании. СПб.: Питер. 2001. 624 с.

3.О.А. Обрезанова, А.В.Олифер, О.Ю.Пелевин. Использование пакета Maple для практических занятий по курсу «Численные методы” /Методические указания. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1998. 35 с.

4. Х. Гулд, Я. Тобочник. Компьютерное моделирование в физике. Ч.1. М.: Мир, 1990. 349 с.

5. И.С.Березин, Н.П.Жидков. Методы вычислений. Т.2. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

6. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы: учебное пособие. М.: Бином, 2008, 636 с.

7. М.Э.Абрамян, А.В.Олифер. Численные методы //Методические указания. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1991. 24 с.

8. А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: ЛИПРОКОМ, 2009. 240 с.

Дата добавления: 2015-12-08