Определение уравнений состояния и выхода по передаточной функции

Уравнения состояния и выхода ЛДС с одним входом и одним выходом могут быть получены с помощью разложения передаточной функции системы на элементарные дроби. Предположим, что передаточную функцию H(z) можно представить в виде суммы простых дробей первой степени:

(8.19)

где Z_*k— полюсы передаточной функции.

На основании результатов, полученных в п. 7.1.4, можно утверждать, что разложение (8.19) соответствует представлению ЛДС в виде параллельного соединения К рекурсивных звеньев первого порядка. Структурная схема, соответствующая подобному представлению, изображена на рис. 8.3. Разложение (8.19) предполагает, что степень полинома числителя передаточной функции меньше степени многочлена знаменателя и все полюсы Z_*k различны. Из распараллеливания структуры ЛДС следует, что все переменные состояния q _k (n), введенные ранее рассмотренным способом, становятся взаимонезависимыми. Следовательно, любое разностное уравнение типа (8.6) преобразуется к виду

(8.20)

Рис. 8.3. Параллельная структура ЛДС

Выражение (8.20) свидетельствует о том, что матрица А становится диагональной с числовыми значениями полюсов на главной диагонали:

(8.21)

Необходимость подачи входного сигнала х(п) на все параллельные ветви схемы превращает матрицу В в столбец, состоящий из единичных элементов:

(8.22)

Матрица С состоит из коэффициентов С_к в разложении (8.19):

(8.23)

В [20] показано, что каждый коэффициент С_к может быть найден из равенства

(8.24)

В случае равенства степеней полиномов числителя и знамена геля передаточной функции в схеме на рис. 8.3 появляется прямое воздействие входного сигнала х(п) на выход у(п) через коэффициент b₀ (пунктирная линия), где

(8.25)

Пример 8.2. Представить в пространстве состояний ЛДС второго порядка с передаточной функцией

Решение.

Структурная схема, соответствующая полученному решению, представлена на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Параллельная структура рекурсивной цепи 2-го порядка

Дата добавления: 2015-12-08