Разностное уравнение

Если известны параметры ЛДС, взаимосвязь между воздействием х(пТ) и реакцией у(пТ) - соотношение вход-выход - описывается разностным уравнением (РУ)

(4.12)

где b_j, a_k - коэффициенты уравнения (вещественные константы),

х(пТ), у(пТ) - воздействие и реакция (вещественные или комплексные сигналы),

j,k— значения издержек для воздействия и реакции,

N, М – константы,

_Х((п - i)T), у((п - k)T) - воздействие и реакция, задержанные на j и k периодов дискретизации соответственно.

Для нормированного времени (T=1) разностное уравнение (4.12) принимает вид

(4.13)

Математическое описание соотношения вход-выход с помощью разностного уравнения (4.12) удовлетворяет условию физической реализуемости ЛДС, поскольку в данном случае соблюдается принцип причинности (см. п. 4.2.1).

Разностное уравнение (4.12) имеет прямую аналогию с линейным дифференциальным уравнением, описывающим соотношение вход-выход аналоговой линейной системы [15]

(4.14)

где bj, a_k - коэффициенты уравнения (вещественные константы), определяющие структуру аналоговой линейной системы. Переход от дифференциальных уравнений к разностным обусловлен различием функций, описывающих входной и выходной сигналы аналоговых и дискретных линейных систем. Аналоговые сигналы описываются непрерывными, а дискретные - решетчатыми функциями времени, поэтому вычисление производных заменяется вычислением разделенных разностей [37].
Дифференциальное уравнение (4.14) решается с помощью одного из методов (алгоритмов) численного интегрирования. Выбор метода — достаточно сложная проблема, однако любой метод численного интегрирования является приближенным, то есть принципиально вносит погрешность. При неудач-
но выбранном методе погрешность может оказаться нарастающей, что приведет к непредсказуемому результату.

В то же время разностное уравнение (14.12) по существу уже представляет собой алгоритм вычисления реакции; оно решается методом прямой подстановки n = 0, 1,2,..., принципиально не вносящим погрешности.
Пример 4.2. Решить разностное уравнение

методом прямой подстановки при заданном воздействии

Требуется определить 5 отсчетов реакции.
Решение приведено в табл. 4.2.

Таблица 4.2. Вычисление реакции методом прямой подстановки

Дата добавления: 2015-12-08