Преобразование Фурье

Преобразование Фурье функции f(nT) связано с Z-преобразованием (2.18) соотношением

(2.20)

поэтому преобразование Фурье функции f(nТ) тождественно Z-преобразованию данной функции на единичной окружности комплексной z-плоскости. Соответственно, прямым преобразованием Фурье функции f(nT) называют

(2.21)

где f(nT) — оригинал — решетчатая функция (последовательность вещест­венных или комплексных отсчетов), F(e^jωT) — фурье-изображение (фурье-образ) функции f(nT) - результат преобразования Фурье.

Преобразование Фурье однозначно связано с функцией f(nT) и справедливо в области абсолютной сходимости ряда

(2.22)

Из формулы (2.21) видно, что результатом преобразования Фурье решетча­той функции f(nT) является непрерывная периодическая функция F(e^jωT), поскольку аргумент данной функции e^jω1 (в свою очередь функция) периодичен с периодом по частоте ω, равным 2п:

Т

(2.23)

Следовательно, соотношение (2.21) является одновременно

- прямым преобразованием Фурье решетчатой функции f(nT) и

- рядом Фурье (2.14) непрерывной функции F(e^jωT)

где интервал ∆t = Т, а f(n) - решетчатая функция в шкале нормированного времени (T= 1).

Поэтом) коэффициенты f(n) ряда Фурье (2.23) можно вычислить по из­вестной формуле (2.16):

(2.24)

где период

При этом соотношение (2.24) является одновременно:

- обратным преобразованием Фурье решетчатой функции f(nT) и

- коэффициентами ряда Фурье непрерывной функции F(e ^jωT).

Таким образом, односторонним преобразованием Фурье решетчатой функ­ции f(nT) называется пара взаимно однозначных преобразований (2.21) - (2.24):

прямого

и обратного

В заключение отметим, что представления решетчатой функции f(nT) в трех областях (временной, частотной и z-области) однозначно взаимосвяза­ны, поэтому в какой бы области ни была задана исходная функция, можно аналитически получить ее представление в других областях, разумеется, при выполнении условий существования соответствующих преобразований.

Z-преобразование

При изучении аналоговых сигналов и линейных аналоговых цепей введение преобразования Лапласа оказалось очень полезным. На его основе определя­ются такие фундаментальные понятия, как передаточная функция, частотные характеристики, устойчивость цепей и т. д. В цифровой обработке сигналов подобным преобразованием является Z-преобразование. Оно позволяет упро­стить многие формулы, определить основные фундаментальные понятия и оказывается очень наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.

Соотношение между р- и z-плоскостями

Ранее (см. лекцию 2) было определено прямое Z-преобразование

(3.1)

где f(nT) — числовая последовательность (дискретный сигнал),

п — номер отсчета,

Т — период дискретизации.

При этом дискретный сигнал f(nТ) называется оригиналом, а функция F(z) — изображением.

Аргумент z функции F(z) является комплексной величиной, т. е.

(3.2)

или в полярных координатах

(3.3)

Довольно часто аргумент z называют оператором, а соотношение (3.1) - операторным представлением числовой последовательности. функция F(z) определена только для значений z, при которых ряд (3.1) схо­дится. Условие сходимости ряда (3.1) определяется соотношением:

Известно, что модуль произведения равен произведению модулей, поэтому

Вынесем нулевой член из-под знака суммы:

Значение \z^-n\, с учетом соотношения (3.3), равно r ^-n:

Два последних равенства позволяют представить условие сходимости ряда (3.1) в виде:

Значение любого отсчета, в том числе и f(0), всегда конечно (см. лекцию 2), поэтому сходимость определяется соотношением

Полученный ряд сходится, если

(3.4)

где R — верхний предел последовательности

Например, если f(nT) = aⁿ (цифровая экспонента), то ряд сходится вне ок­ружности радиуса R = а.

Область z-плоскости, где обеспечивается выполнение условия (3.4), называется областью сходимости, а значение R —радиусом стоимости. Область сходимости ряда (3.1) показана на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Область сходимости Z-преобразования

Z-преобразование, описывающее дискретный сигнал (числовую последовательность) в z-плоскости, определяется на основании преобразования Лапласа, описывающего аналоговый сигнал в p-плоскости. Анализ соотношения между р- и z-плоскостями позволяет выявить условия корректного применения

Z-преобразования, а также сформулировать требования к аналоговые сигналам, обрабатываемым

средствами ЦОС. Связь между р- и z-плоскостями определяется соотношением (см. лекцию 2)

(3.5)

Аргумент р является комплексной величиной, т. е.

поэтому выражение (3.5) можно записать как

(3.6)

Из (3.6) с учетом формулы Эйлера следует, что

(3.7)

(3.8)

где

Следовательно, (3.3) примет вид

(3.9)

На основании (3.9) рассмотрим соотношение между некоторыми характер­ными точками р- и z-плоскостей.

1.Точка р-плоскости с координатами σ=0 и Ω= 0 отображается в точку z-плоскости с координатами ξ=1 и η= 0:

2.Точка р-плоскости с координатами σ=0иΩ= π/2Т отображается в точку z-плоскости с координатами ξ=0 и η=1:

3.Точка р-плоскости с координатами σ=0 и Ω =-π/2 Т отображается в точку z-плоскости с координатами

ξ= 0и η=-1:

4.Точки р-плоскости с координатами σ=0 и ±π/Т отображается в точку z-плоскости с координатами ξ= - и

η=0:

Рассмотренные точки р-плоскости лежат на мнимой оси (σ = 0) в интерва­ле [Ω- π/Т,Ω + π/T]. Им

cоответствуют точки z-плоскости

(3.10)

Выражение (3.10) описывает окружность единичного радиуса. При этом интервалу [Ω - π/T, Ω + π/T] на мнимой оси р-плоскости соответствует один полный оборот в z-плоскости. Таким образом, учитывая периодич­ность соотношения (3.10) можно утверждать, что мнимая ось отображает­ся в бесконечное число совпадающих окружностей.

5. Точки левой р-полуплоскости (σ < 0) отображаются внутрь круга единич­ного радиуса z-плоскости, т. к.

6. Центру круга на z-плоскости (z = 0) соответствует точка р-плоскости с ко­ординатами σ = -∞ и Ω = 0:

7. Точки правой p-полуплоскости (σ > 0) отображаются на z-плоскости, вне единичного круга, т. к.

Очевидно, что взаимно однозначное отображение р- и z-плоскостей воз­можно только для полосы

p-плоскости, заключенной между линиями, па­раллельными оси абсцисс и пересекающими ось ординат в точках ±jπk/T, где k = 0, ±1,±2, ±3...

Соотношения между некоторыми характерными точками р- и z-плоскостей представлены в табл. 3.1 и показаны на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Соотношение между z- и р-плоскостями

Таблица 3.1. Соотношения между z- и р-плоскостями

Основные свойства Z-преобразования

Формула (3.1) устанавливает соотношение между временным и операторным представлениями числовой последовательности. Если условие сходимости выполняется, соотношение (3.1) является единственным и взаимно однозначным. Рассмотрим наиболее часто используемые свойства этого преобразования.

1. Свойство линейности.

Задана некоторая числовая последовательность f(nT) представляющая собой сумму взвешенных числовых последовательностей ƒ_j(nT)

(3.11)

где a _j — весовой коэффициент.

Если для всех f_j(nT) известны z-изображения

тогда для последовательности f(n Т) z-изображение определяется формулой

(3.12)

Это свойство следует непосредственно из самого определения Z-преобразования. Так, подставив в выражение (3.1) вместо функции f(nT) ее пред­ставление (3.1 П и поменяв порядок суммирования, получим:

2. Z-npeобразование задержанной числовой последовательности (теорема запаздывания).

Задана числовая последовательность f(nT) = 0 при п < 0, и для нее извест­но изображение F(z). Тогда для задержанной числовой последовательно­сти f((n - n₀ )Т), где п₀ - положительная целочисленная константа,

z-изображение определяется формулой

(3.13)

В этом нетрудно убедиться, применив замену переменной в выражении для прямого Z-преобразования:

Учитывая, что f(kT) = 0 при k < 0, окончательно получаем

Таким образом, задержка на,n₀ тактов во временной области эквивалентна умножению z-изображения на константу z^-n0.

Замечание.

Для опережающей числовой последовательности f((n+n₀)T) где п положительная целочисленная константа, z-изображение определяется соотношением

(3.14)

Это легко показать:

В частности, при п₀= 1

(3.15)

3. Z-преобразование свертки числовых последовательностей.

Сверткой числовых последовательностей f₁(nT) и f₂(nT) называется соот­ношение

(3.16)

Z- изображение свертки определяется формулой

(3.17)

где F₁(z) и F₂(z) - z-изображения последовательностей f₁(nT) и f₂ (пТ) соответственно.

Справедливость данного свойства можно доказать следующим образом:

4. Z-преобразование числовой последовательности, умноженной на экспоненту.

Задан дискретный сигнал, представляющий собой умноженную на экспоненту числовую последовательность

где а — положительное число.

Если для числовой последовательности f(nT) известно z-изображение

то для последовательности f_э(nT) z-изображение будет определяться по формуле

(3.18)

Покажем справедливость (3.18), воспользовавшись определением Z-преобразования:

Рассмотренные свойства позволяют достаточно просто находить изображе­ния для большинства встречающихся на практике числовых последователь­ностей.

Обратное Z-преобразование

Задача восстановления оригинала по известному изображению решается при помощи обратного Z-преобразования:

(3.20)

где С - контур сходимости F(z) z ^n-1, охватывающий начало координат z-плоскости.

Непосредственно решить такой интеграл довольно сложно, а в большинстве случаев невозможно.

Поэтому рассмотрим три простых способа нахождения обратного Z-преобразования:

- с использованием таблицы соответствий;

- на основании теоремы Коши о вычетах;

- путем разложения изображения на простые дроби.

Дата добавления: 2015-12-08