Определенный интеграл.(2)

Пусть Sigma = Summ(k=1,n) f(Ek) delta xk - интегральная сумма для функции f на отрезке [a,b]. Если сущ. предел I интегральных сумм Sigma при диаметре разбиения delta2, стремящемся к +0 (delta = max {delat xk}), т.е. для всех Epsilon >0 найдется delta20 >0,такое,что для всех delta2 <= delta 20 ==> |Sigma - I| <= Epsilon, и этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b], ни от выбора промежуточных точек Ek, то I называют определенным интегралом (интегралом Римана) функции f на отрезке [a,b] и обозначают $(от a до b) f(x)dx, а функцию называют интегрируемой в смысле Римана на отрезке [a,b]. Таким образом, $(от a до b) f(x)dx = lim (при delta2 -> +0) Summ (k=1,n) f(Ek) delta xk.

Необходимым условием интегрируемости функции является ее ограниченность. Функция f, заданная на [a,b], будет заведомо интегрируемой на [a,b] в каждом из след. случаев: 1) f непрерывна 2) f монотонна 3) f кусочно монотонна 4) f ограничена и имеет конечное число точек разрыва 5) f явл. произведением интегрируемых функций.

Определенный интеграл (3)

Под определенным интегралом от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a,b] понимается соответствующее приращение ее первообразной. (формула Ньютона-Лейбница)

Вычисление определенного интеграла по отрезку (см. билет 2)

Формула Ньютона-Лейбница

Является основной формулой для вычисления определенных интегралов. $(a..b) f(x)dx=F(b)-F(a), где F(x)-одна из первообразных

Правила применения: $(a..b) f(x)dx=($(f(x)dx)|(от a до b)=(F(x)+C)|(a..b)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a)

Вывод: $ (a..b) f(x)dx = lim (e->+0) $ (a..b+e) f(x)dx = lim (e->+0) (F(b-e)-F(a)) = F(b) - F(a) = F(x) |(a..b)

Обобщенная формула Ньютона-Лейбница (для несобственных интегралов) $ (a..+&) f(x) dx = F(+&) - F(a)

Основные свойства определенного интеграла.

а) По определению $(a..a) f(x)dx = 0

б) По определению $(a..b) f(x)dx = - $(b..a) f(x)dx

в) Линейность интеграла: Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], c и d - вещ.числа, то функция cf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем $(a..b) (cf(x)+dg(x)) dx = c $ (a..b) f(x) dx + d $ (a..b) g(x) dx

г) Если f(x) интегрируема на [a,b], то функция |f(x)| также интегрируема на [a,b], причем |$(a..b)f(x)dx| <= $(a..b)|f(x)| dx (a<b)

д) Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то функция f(x)g(x) также интегрируема на [a,b]

e) Если f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема также на любом отрезке [c,d] принадлеж. [a,b]

ж) Аддитивность интеграла. Если f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b], то она интегрируема также на [a,b], причем

$ (a..c) f(x) dx + $ (c..b) f(x) dx = $ (a..b) f(x) dx При этом точка c может быть как угодно расположено от-но a и b.

з) Если f(x) интегрируема на [a,b] и f(x) >=0, то $ (a..b) f(x) dx >=0

и) Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и f(x)>=g(x) для всех x принадл. [a,b], то $ (a..b) f(x) dx >= $ (a..b) dx

к) Если f(x) непрерывна на [a,b], f(x)>=0, f(x) не равно 0 на [a,b], сущ. K>0 такое что $(a..b) f(x) dx >= K

Теорема об оценке определенного интеграла по отрезку. Доказательство. Геометрический смысл

Теорема о среднем значении функции на отрезке.

Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], g(x)>=0 (g(x)<=0) для всех x принадл. [a,b], M=sup [на a,b] f(x), m = inf [на a,b] f(x). Тогда существует число MU принадл. [m,M] такое, что $ (a..b) f(x) g(x) dx = MU $ (a..b) g(x) dx.

Следствие 1. Если в этой формуле положить g(x)=1, то $ (a..b) f(x) dx = MU (b-a), MU принадл. [m,M]

Число MU = (1 / (b-a)) * $ (a..b) f(x) dx называется средним значением функции f(x) на сегменте [a,b].

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы и функция f(x) непрерывна, то сущ. E принадл. [a,b] такое, что

$ (a..b) f(x) g(x) dx = f(E) $ (a..b) g(x) dx

Следствие 3. Если f(x) непрерывна на [a,b], то сущ. E принадл. [a,b] такое, что $ (a..b) f(x) dx = f(E) (b-a)

Дата добавления: 2015-12-08