Векторне поле

Кажуть, що в області задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор .

Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості ; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції ; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння , що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості .

Зручною геометричною характеристикою векторного поля є векторні лінії – криві, в кожній точці яких вектор напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.

Потік векторного поля - поверхневий інтеграл другого роду на поверхні S

Дивергенцією векторного поля називається скалярна функція

.

Слово «дивергенція» означає «розбіжність».

Дивергенція характеризує густину джерел даного векторного поля в розглянутій точці.

Ротором (або вихором) векторного поля називається вектор-функція

.

Циркуля́ція ве́кторного по́ля — криволінійний інтеграл по замкнутому контуру

Де F — векторне поле. Циркуляція потенційного поля дорівнює нулю.

35. Спеціальні векторні поля. Потенціальне поле. Соленоїдальне поле.

Потенціальне поле. Векторне поле називається потенціальним в області , якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого скалярного поля :

Функція називається скалярним потенціалом векторного поля . Якщо , то із рівності (9) випливає, що

Інколи потенціалом векторного поля називають таку функцію , що .

Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси , розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією

( - гравітаційна стала, ). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці . Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції , яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси .

.

Інколи потенціалом векторного поля називають таку функцію , що .

Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси , розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією ( – гравітаційна стала, ). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці . Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції , яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси .

Соленоїдальне поле. Векторне поле називається соленоїдальним в області , якщо в цій області . Оскільки характеризує густину джерел поля , то в тій області, де поле соленоїдальне, немає джерел цього поля.

Наприклад, електричне поле точкового заряду соленоїдальне (задовольняє умову ) всюди поза точкою, де знаходиться заряд (в цій точці ). Векторні лінії соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області, або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.

Якщо векторне поле можна подати як ротор деякого векторного поля , тобто , то вектор – функція називається векторним потенціалом поля .

Можна перевірити (див. докладніше п. 2), що , тобто поле є соленоїдальним.

Довільне векторне поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.

36. Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжності ряду.

Нехай задана нескінчена послідовність чисел

а₁, а₂, а₃, …, а_n …

Вираз а₁+а₂+а₃+…+а_n +… називається нескінченним числовим рядом, числа а₁, а₂, а₃, …, а_n – членами ряду, а_n – загальним членом ряду.

Отже, від послідовності ми перейшли до ряду.

За допомогою значка суми ряд можна записати так:

де n приймає значення від 1 до .

Що задати числовий ряд, треба задати його загальний член а_n у вигляді формули

за якою для будь-якого n можна знайти відповідний член ряду.

Наприклад, нехай загальний член ряду тоді відповідний ряд буде:

Іноді задають декілька перших членів ряду і треба записати увесь ряд, тобто знайти його загальний член.

При цьому треба знаходити загальний член ряду по можливості простішого вигляду.

Наприклад, знайти загальний член ряду

Маємо: перший член ряду другий член ряду Отже, шукана функція повинна мати вигляд дробу, чисельник якої дорівнює 1, в знаменник повинен дорівнювати , тобто загальний член заданого ряду буде а ряд має вигляд

Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) називають суму S_m перших т членів цього ряду, тобто

Означення 2. Сумою S числового ряду називають границю його часткової суми S_n при , тобто (2)

Означення 3. Якщо границя часткової суми ряду є скінчене число, то ряд називають збіжним і позначають цей факт так:

Якщо границя часткової суми не існує або дорівнює , то числовий ряд називають розбіжним.

Означення 4. Числовий ряд вигляду

називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом а.

Означення 5. Числовий ряд вигляду

називають узагальненим гармонічним рядом.

Математиками доведено, що при узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р>1 цей ряд збігається.

При р=1 ряд (4) приймає вигляд

і називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.

Дата добавления: 2015-12-08