Моменти інерції

Для матеріальної кривої АВ моменти, інерції щодо осей Ох, Оу і початки координат відповідно рівні:

, , ,

25. Криволінійні інтеграли першого роду для просторових кривих.

26. Криволінійні інтеграли другого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.

Розв’язання задач про обчислення роботи змінної сили при переміщенні матеріальної точки уздовж деякої кривої приводить до поняття криволінійного інтеграла II роду. Криволінійний інтеграл роду визначається майже так само, як і інтеграл I роду. Нехай в площині Оху задана неперервна крива АВ (або L) і функція Р (х; у), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву АВ точками M₀=A,M₁,M₂…,M_n=B в напрямі від точки А до точки В на n дуг M_i-1M_i з довжинами . На кожній елементарній дузі M_i-1M_i візьмемо в точці і складемо суму вигляду )де проекція дуги M_i-1M_i на вісь Ох (див. рис. 5).

Суму (2.1) називають інтегральною сумою для функції Р (х; у) по змінній х. Таких сум можна скласти незліченну множину. (Відмінність сум (1.1) і (2.1) очевидно.)

Якщо підінтегральна сума (2.1) має кінцеву межу, не залежну ні від способу розбиття кривої АВ, ні від вибору точок ,то її називають криволінійним інтегралом по координатам х II роду від функції Р (х; у) по кривій АВ і позначають або

Отже

Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції Q (х; у) по координаті у

де — проекція дуги M_i-1M_i на вісь Oу.

Криволінійний інтеграл II роду загального вигляду визначається рівністю

Криволінійний інтеграл по просторовій кривій L визначається аналогічно.

Теорема Якщо крива АВ гладка, а функції Р(х;у) і Q (х;у) неперервні на кривій АВ, то криволінійний інтеграл II роду існує.

Відзначимо лише деякі властивості криволінійного інтеграла II роду

1. При зміні напряму шляху інтегрування криволінійний інтеграл II роду змінює свій знак на протилежний, тобто:

(проекція дуги M_i-1M_i на осі Ох і Оу міняють знаки із зміною напряму).

2. Якщо крива АВ точкою С розбита на дві частини АС і СВ, то інтеграл по всій кривій рівний сумі інтегралів по її частинах, тобто:

3. Якщо крива АВ лежить в площині перпендикулярної осі Ох, то (все );

аналогічно для кривої, що лежить в площині, перпендикулярній осі Оу:

(все );

4. Криволінійний інтеграл по замкнутій кривій (позначаеться ) не залежить від вибору початкової точки (залежить тільки від напряму обходу кривої.)

Дійсно, (див. рис. 6).

З другого боку

Таким чином: .

Дата добавления: 2015-12-08