Читайте также: |
|
Моменти інерції тіла щодо координатних площин обчислюються по формулах
, , ,
а моменти інерції щодо координатних осей:
, , .
Приклад 2.4. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями і .
○ Дане тіло обмежене зверху площиною , знизу – параболоїдом (див. рис. 18). Об’єм тіла знаходимо, використовуючи циліндричні координати: ●
23. Криволінійні інтеграли першого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.
Нехай на площині Оxу задана неперервна крива АВ (або L) довжини 1. Розглянемо неперервну функцію f (х; у), визначену в точках дуги АВ. Розіб'ємо криву АВ точками на n довільних дуг M0=A,M1,M2…,Mn=B на дуги Mi-1Mi з довжинами (див. рис. 1). Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку і складемо суму
1.1)
Її називають інтегральною сумою для функції f (x;y) по кривій АВ.
Нехай - найбільша з довжин дуг ділення. Якщо при (тоді ) існує кінцева границя інтегральних сум (1.1), то її називають криволінійним інтегралом від функції f (x;y) по довжині кривої АВ (або I роду) і позначають: або
Таким чином, за визначенням = (1.2)
Умова існування криволінійного інтеграла I роду (існування межі інтегральної суми (1.1) представляє наступна теорема, яку ми приводимо тут без доведення.
Теорема Якщо функція f (х;у) незперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці (х; у) є L існує дотична до даної кривої і положення її безперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точки в них.
Аналогічним чином вводиться поняття криволінійного інтеграла від функції f (х; у; z) по просторовій кривій L. Приведемо основні властивості криволінійного інтеграла по довжині дуги (I роду).
1. = , тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напряму шляху інтегрування.
2. = с , с =const.
3.
4. = + , якщо шлях інтегрування L розбити на частини L1 і L2 такі, що L= L1U L2 і L1 і L2 мають єдину спільну точку (властивість адитивності по області інтегрування).
5. Якщо для точок кривої L виконана нерівність , то
6. — де довжина кривої АВ.
7. Якщо функція f (х; у) неперервна на кривій АВ, то на цій кривій знайдеться точка , така що = f (теорема про середнє)
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав